19 Z-преобразование и его свойства
Основные определения
1. Оригинал — последовательность {f(k), k=0,1,…}, удовлетворяющая условию: |f(k)|<Meᵟk, где M и δ - положительные постоянные.
2. Изображение последовательности {f(k), k=0,1,…} - функцияF(z) комплексного переменного z, определяемая равенством
Изображение является аналитической функцией при |z|>eᵟ.
Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений - пространством изображений.
3. Переход, определяющий изображениеF(z) по оригиналу {f(k), k=0,1,…}, называется Z-преобразованием: F(z)=Z[f(k)]
4. Оригинал
по изображению находится с помощью
обратного Z-преобразования по формуле:
где C — контур, внутри которого лежат все особые точки функцииF(z).
Свойства Z-преобразования
1.
Линейность.
Для любых постоянных
справедливо
Z[c1f1(k)+...+cmfm(k)] = c1F1(k)+...+cmFm(k),
где {f1(k), k=0,1,...},..., {fm(k), k=0,1,...} - оригиналы, a F1(z),...,Fm(z) - их изображения.
2. Запаздывание (формула запаздывания),
гдеf(k-n)=0 при k-n<0
Z[f(k-1)]=z-1F(z)
Z[f(k-n)]=z-nF(z), n=1,2,...,
3. Опережение (формула опережения):
Z[f(k+1)]=z[F(z)-f(0)],
Z[f(k+n)]=znF(z)-znf(0)-..-zf(n-1).
4. Дифференцирование изображения:
5. Умножение изображений. Свертке оригиналов соответствует произведение изображений:
где
G(z)=Z[g(k)].
Сверткой оригиналов{f(k), k=0,1,…}и {g(k), k=0,1,…} называется сумма
24)Вариационные задачи на условный экстремум. Функция ЛагранджаВариационные задачи на условный экстремум. УравнениеяЭйлера-Лагранж. Вариационными задачами на условный экстремум(связанный экстремум) называются задачи, в кторых требуется найти кривые, доставляющие экстремум функционалу, при этом помимо граничных условий они должны удовлетворять некоторым связям (условиям). Например, эти кривые должны иметь заданную длину (изопериметрическая) задача либо удовлетворять некоторой заданной системе диф уравнений либо лежать на некоторой поверхности. Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:∂F∂x=0;∂F∂y=0;φ(x,y)=0
25) Изопериметрические задачи, класс задач вариационного исчисления.Простейшие И. з. (нахождение треугольников и многоугольников заданного периметра, имеющих наибольшую площадь; нахождение замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь; определение замкнутой поверхности заданной площади, ограничивающей наибольший объём, и т. п.) были известны древнегреческим учёным (Архимед, Зенодор и др.). Целью изопериметрической задачи является поиск фигуры наибольшей возможной площади, граница которой имеет заданную длину.
Изопериметрические свойства: Для пространственных фигур: среди всех тел с данной площадью поверхности наибольший объем имеет шар. Для плоских фигур изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех фигур, ограниченных замкнутой кривой заданной длины, найти фигуру наибольшей площади.
Отличие этих задач от простейших вариационных заключается в наличие дополнительных условий.
20. Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с ее значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Наиболее известный пример - уравнение на Гамма-функцию
Г(z+1)=zГ(z)
Уравнения такого вида задают функцию неоднозначно, а с точностью до произвольной функции-множителя, периодичной по z.
Если переменная считается целым числом - то разностное уравнение превращается в рекуррентное соотношение, например,Числа Фибоначчи Fn= Fn-1+ Fn-2,
Также и в рекуррентном определении факториала
n!=n(n-1)!можно сделать обобщение, заменив целочисленную переменную n на вещественную или комплекснуюz и получить гамма-функцию: Г(n)=(n-1)!
Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнениебесконечного порядка, в силу тождестваF(z+a)=exp(a*d/dz)F(z)=
Некоторые разностные уравнения допускают предельный переход, превращающий их в дифференциальные.
Рекуррентное уравнение — уравнение, связывающее несколько подряд идущих членов некоторой числовой последовательности. Последовательность, удовлетворяющая такому уравнению, называется рекуррентной последовательностью.
Линейное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
fn+r+a1 fn+r-1+ a2 fn+r-2+...+ an fn=φ(n).
Здесь n— неотрицательные целые числа, fn — последовательность чисел, a1,a2,...,ar— постоянные числа, ar ≠0, φ(n) — заданная функция от n.
Решение разностных уравнений с применением z-преобразования
Разностные уравнения обычно определены при n0 и имеют набор начальных условий.
Z-преобразование
Если имеется передаточная характеристика аналогового фильтра H(s) в виде нулей и полюсов фильтра, то для того чтобы фильтр стал дискретным необходимо периодически «размножить» нули и полюса с периодом T. При этом мы получим бесконечное количество нулей и полюсов дискретного фильтра, что не совсем удобно. Для облегчения анализа вводят z-преобразование путем отображения комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость вида: z=exp(sT)
Тогда
преобразование Лапласа дискретного
сигнала переходит в z – преобразование:
Поскольку exp((σ+jω)T)=exp((σ+jω+2kπ/T)T)=z то все бесконечные периодические повторения нулей и полюсов дискретного фильтра в плоскости s преобразуются в одну точку в плоскости z.
Давайте рассмотрим подробнее свойства этого отображения:
Если s=0, то z=1.
Если s= σ (чисто вещественно), то z=exp(σT), также чисто вещественно, причем z≥0. При σ <0, z<1, а при σ≥0, z≥1.
Если s=jω (чисто мнимое), то z=exp(jωT), - точка расположенная на единичной окружности повернутся на угол ωT. Таким образом вся мнимая ось плоскости s отображается в единичную окружность плоскости z.
Если s= σ+jω, то z=r*exp(jωT), где r=exp(σT). Точка расположена на окружности радиуса r=exp(σT), повернутая на угол ωT. Если σ<0, то r=exp(σT)<1, т.е. вся левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а если σ>0, то r=exp(σT)>1 и вся правая полуплоскость s отображается вне единичной окружности на плоскости z.