Текущая стоимость будущих платежей при условии частоты их выплат больше, чем раз в год

Во время вычисления текущей стоимости мы предполагали, что выплаты будут производиться раз в год. На практике выплаты могут осуществляться чаще, чем раз в год. В данном случае формула, описанная в предыдущем параграфе, должна быть изменена с учетом следующих моментов. Во-первых, годовая процентная ставка должна быть поделена на количество выплат в год. Например, если выплаты производятся раз в полгода, то годовая процентная ставка делится на 2 и т.д. Во-вторых, количество периодов, через которое будет получена будущая стоимость, должно быть получено умножением количества лет на частоту выплат в год.

Общая формула текущей стоимости:

, (2.4)

Где - периодическая процентная ставка (годовая процентная ставка, деленная на количество выплат в год);

- частота выплат в год;

- количество периодов (Т×m).

.Пример 2.10.

Инвестор размышляет о покупке финансового инструмента, который гарантирует следующие величины выплат каждые 3 месяца:

Период	Выплаты, руб.
1	20 000
2	23 000
3	25 000
4	28 000
5	31 000
6	35 000

Инвестор ожидает получить годовую доходность по инвестированным средствам в размере 12%. Какова может быть максимальная приемлемая цена данного инструмента для инвестора?

Максимальная цена равна текущей стоимости будущих выплат. Как показано ниже, текущая стоимость равна 144 906 руб.

Период	Будущие выплаты, руб.	Текущая стоимость 1 руб. по ставке 3,0%	Текущая стоимость выплат, руб.
1	20 000	0,97087	19 417
2	23 000	0,94260	21 680
3	25 000	0,91514	22 878
4	28 000	0,88849	24 878
5	31 000	0,86261	26 741
6	35 000	0,83748	29 312
	Суммарная текущая стоимость 144 906 руб.

Когда ищут текущую стоимость обычного аннуитета, используют общую формулу:

, (2.5)

где - величина аннуитета (в денежных единицах за период)

Пример 2.11.

В примере 2.6 мы считали текущую стоимость следующей серии денежных выплат, с учетом годовой процентной ставки 6,5%.

Периоды платежей	Выплаты эмитента, руб.
1	1000
2	1000
3	1000
4	1000
5	11 000

Предположим, что по рассматриваемому инструменту выплаты производятся каждые полгода, Тогда денежные потоки по периодам будут иметь следующие значения:

Периоды платежей	Выплаты эмитента, руб.
1	500
2	500
3	500
4	500
5	500
6	500
7	500
8	500
9	500
10	10 500

Это эквивалентно обычному аннуитету в 500 руб. на период полгода в течение 10 периодов и платежу в 10 000 руб. по истечении 10 периодов.

Текущая стоимость обычного аннуитета:

А = 500 руб.;(выплаты каждые полгода);i = 0,0325 (0,065/2);(5 × 2).

Текущая стоимость 10 000 руб., полученных через 10 полугодовых периодов:

FV= 10 000 руб.;(выплаты каждые полгода); i=0,0325;(5 × 2).

.

Текущая стоимость финансового инструмента равна:

Текущая стоимость обычного аннуитета в руб. на 10 полугодовых периодов с учетом ставки в 3,25 %	4 211руб.
Текущая стоимость 10 000 руб., поученных через 10 полугодовых периодов с учетом ставки в 3,25%	7 263 руб.
Итого	11 474 руб.

Заметьте, что ввиду более частых выплат текущая стоимость выплат увеличилась с 11 455 руб. до 11 474 руб.

Пример 2.12.

Предположим, банк соглашается дать ссуду 10 млн. руб. сроком на 25 лет для строительства дома. По условиям ссуды ежемесячные платежи будут одинаковыми. Банк выдает ссуду под 18 % в год. Какого размера должны быть ежемесячные платежи для того, чтобы была обеспечена годовая ставка в 18 %?

Мы можем использовать формулу текущей стоимости обычного аннуитета для определения фиксированных ежемесячных платежей. Банк хочет получать в погашение выданного им кредита фиксированные ежемесячные выплаты так, чтобы текущая стоимость обычного аннуитета с учетом годовой процентной ставки 18 % была равна 10 млн руб. В формуле текущей стоимости обычного аннуитета всего 300 (25 × 12) платежей с учетом процентной ставки за период 1,5 % (18% /12 месяцев). Таким образом, подставив в формулу (6) исходные данные, мы получим следующее выражение:

.

Неизвестным является - ежемесячные выплаты. Раскрывая предыдущую формулу, получим:

10 000 000 = А × 65,9009

Отсюда легко найти :

Таким образом, ежемесячные платежи должны составлять 151 743 руб.