Введение в мат. анализ

101

4.								;
5.							при	.
Теорема верна и в случае односторонних пределов и в случае пределов на
бесконечности:				и	.
Примеры.
1).	, .

Действительно:

.

В частности,	,	при .
2).	,
где		многочлен степени .
Действительно:

			.
3).			,
где										рациональная функция и	.
Действительно:
									.

4).

§ 5. Пределы элементарных функций.

	Рассмотрим пределы основных элементарных функций (см. §7 гл. 2).
1. Степенная функция:			.
Покажем, что если		, то	.
При	или	, где	это показано выше (см. Примеры 1 и 3, §4).

102

, где

Пусть

, т.е.

.

Докажем, что при

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

. Согласно

определению предела функции на языке

- имеем:

.

Для

возьмем

; тогда из условий:

следует:

. Это означает, что

и

.

Теперь рассмотрим случай

. Докажем, что

. По определению

предела функции имеем:

.

Для

(можно считать, что

возьмем

;

заметим, что при этом

. Тогда из условий:

получаем:

;

.

Таким образом, получаем:

.

Это означает, что

.

Теперь рассмотрим случай

.

.

Итак, доказано, что при

.

Пусть

, где

, т.е.

. Тогда:

.

Если

, то

и

.

Следовательно, если

любое рациональное число и , то

, т.е.

.

Ниже будет доказано это равенство для любого действительного числа .

Пример 1.

.

2. Показательная функция:

,

,

103

(Здесь вместо более привычного

пишем

, т.к. буква

«занята»).

Покажем, что для

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

.

В §8 главы 3 (см. Пример 2) было доказано, что

при

.

Заметим, что и

.

Поэтому

и

Возьмем

,

.

Тогда при :

будем иметь:

.

Пусть

, тогда

.

Это означает, что

.

Пусть

, тогда

и значит,

.

. Следовательно:

Таким образом, доказали, что

при любых

,

Пусть

произвольное действительное число. Докажем, что

.

Так как

, то

;

.

Итак, если

,

,

то

.

Пример 2.

.

3. Тригонометрические функции:

,

,

,

.

Покажем, что и для этих функций

.

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 1.

Для

справедливы неравенства:

.

Доказательство. В круге с центром в точке

и радиуса (см. рис. ниже) проведем

острый угол

, хорду

и касательную

к окружности в точке

. При этом

.

104

C

Используя сведения из планиметрии, можно

B

утверждать, что будут выполнены неравенства:

площадь

площади сектора

площади

.

O

A

Обозначим через

величину угла

в радианах.

Тогда

,

,

.

Получаем неравенства:

. Сокращая на

,

приходим к неравенствам:

. Лемма доказана.

Следствие.

Для ,

справедливо неравенство:

.

Для

справедливо неравенство:

.

Доказательство.

Для

это неравенство доказано, т.к.

.

Пусть

, тогда

и значит,

.

Итак, если

и

, то

. Если

, то

.

Пусть

, тогда

, а

, значит:

. Следствие доказано.

Рассмотрим функцию

. Докажем, что

.

Так как

, то по Следствию имеем:

.

Для

; тогда для

возьмем

,

. Это означает, что

.

Аналогично для функции

.

Так как

, то по Следствию имеем:

.

Для

; тогда для

возьмем

,

. Это означает, что

.

Для функций

и

имеем:

, если

.

, если

.

Таким образом, если

тригонометрическая функция, то

.

Пример 3.		.

105

4. Обратные тригонометрические функции:

,

,

,

.

Покажем, что и для этих функций

.

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 2.

Справедливы следующие соотношения:

1)

;

2)

Доказательство. 1). Введем обозначения:

,

,

.

Тогда

.

По определению функции

имеем:

,

,

. Так как функция

строго возрастающая на

, то из равенства:

следует:

.

Первое равенство

доказано.

2). Введем обозначения:

,

,

.

Тогда

.

По определению функции

имеем:

,

,

. Так как функция

строго возрастающая на

, то из равенства:

следует:

. Второе равенство

доказано.

Рассмотрим функцию

.

Докажем, что

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

Согласно определению предела функции на языке -

имеем:

.

Для

возьмем

(если

, то возьмем

1). Тогда для

,

.

Так как функция

строго возрастающая, то получаем неравенства:

. Учитывая, что

и

,

получим:

.

Это означает, что

.

Далее рассмотрим случай

. Учитывая, что

, можно считать

.

Тогда по Лемме 2 имеем:

. Введем обозначение:

;

тогда

и

.

Если

, то

и как уже доказано,

.

106

Так как

, то

, или:

.

Таким образом,

.

Рассмотрим функцию

.

Из равенства:

получим:

.

Рассмотрим функцию

.

Докажем, что

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

.

Для

возьмем

(если

, то в качестве

можно взять любое положительное число).

Тогда для

,

.

Так как функция

строго возрастающая, то получаем неравенства:

. Учитывая, что

и

, получим:

.

Это означает, что

.

Далее рассмотрим случай

. Учитывая, что

, можно считать

.

Тогда по Лемме 2 имеем:

Введем обозначение:

; тогда

и

.

Если

, то

и как уже доказано,

.

Так как

, то

, или:

.

Таким образом,

.

Рассмотрим функцию

.

Из равенства:

получим:

.

Таким образом, если

обратная тригонометрическая функция, то

.

5. Логарифмическая функция:

,

,

(В основании логарифма вместо более привычного

пишем , т.к. буква

занята).

Покажем, что для

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

107

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

.

Пусть

; для

возьмем

. Ясно, что

.

Тогда для

будем иметь:

и

, т.е.

.

Это означает, что

.

Пусть

, тогда

и значит,

. Следовательно:

.

Таким образом, доказали, что

при любых

,

Пусть

произвольное положительное число.

Докажем, что

.

Так как

, то

и

.

Итак, если

,

,

то

.

Возвращаемся к степенной функции

, где

произвольное

действительное число.

Представим эту функцию в виде композиции функций:

.

Пусть

произвольное положительное число. Тогда

.

Следовательно, и в этом случае

.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема (о пределе элементарной функции).
Пусть	элементарная функция (§8 гл. 2) и	Т	.

Доказательство.

Во-первых, для всех основных элементарных функций (постоянной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических) это утверждение доказано.

Во-вторых, это верно для функций, полученных с помощью 4-х арифметических действий из этих основных элементарных функций (см. §4).

В-третьих, это утверждение верно и для композиции функций (см. Следствие §2):

если существуют пределы:	и	. Тогда
существует	, т.е.
	.

108

Следовательно, согласно определению элементарной функции (см. §8 главы 2) утверждение теоремы истинно для всех элементарных функций. Теорема доказана.

Пример.

.

§ 6. Бесконечно большие функции.

Определение. Функция			называется бесконечно большой величиной (б.б.в.)
при	, если для любого числа		можно указать такое число			, что для всех
значений		и таких, что	,	выполняется неравенство		.
Функция		называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком
при	, если для любого числа		можно указать такое число			, что для всех
значений		и таких, что	,	выполняется неравенство		.
Функция		называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком
при	, если для любого числа		можно указать такое число			, что для всех
значений		и таких, что	,	выполняется неравенство		.
Соответствующие обозначения б.б.в. при					:
		,	,		,	.

Определение бесконечно большой функции символически можно записать так:

				,
				,
				.

Определение бесконечно большой функции в случае односторонних пределов

:

			;
			;
			;
			;
			;
			.

Определение бесконечно большой функции в случае пределов на бесконечности

:

			;
			;

			109
			;
			;
			;
			;
			;
			;
			.

Все эти определения можно дать и на языке последовательностей.

Замечание.

Из определения б.б.в. следует:

б.б.в.

б.б.в.

б.б.в.

Примеры.

1)

б б в при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то

для

возьмем

тогда

т.е.

при

.

2)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

Если

, то

и

.

3)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

4)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

(т.к.

), т.е.

при

.

5)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

															110
								, то для			возьмем				; тогда
						, т.е.			при		.
6)				б б в со знаком				при			, т.е.				.
Действительно, так как по определению
										, то для		возьмем
		; тогда									, т.е.
		при		.
	Легко установить, что при							выполняются следующие равенства:
				,							.
	Другие примеры бесконечно больших функций:
				,				,			,				,
				,			,				,				.

Наглядно в этом можно убедиться по графику этих функций (см. §7 главы 2).

Замечание. Понятия неограниченной функции (см. §5, главы 2) и бесконечно большой функции не равносильны. Любая бесконечно большая функция является неограниченной,

но обратное утверждение неверно. Сравним их определения.

неограниченная функция на множестве						.
б.б.в. при	или					.
При этом: если	, то		; если	, то		; если
, то			.
В случае б.б.в. неравенство			должно выполняться для всех			из
некоторой окрестности точки или			; в случае неограниченной функции это
неравенство может выполняться лишь для некоторых значений .
Например,		неограниченная функция при			(на	), но она
не является бесконечно большой функцией при				(см. график):