Введение в мат. анализ

							181
Тогда			и по Теореме 1 имеем:
					,	, … ,	.
Следствие доказано.
Замечание.
Очевидно, что тождественное равенство многочленов с произвольными
степенями	и	возможно лишь при равенстве их степеней:
					.
Другими словами, Следствие равносильно следующему утверждению:
				,
т.е. многочлены тождественно совпадают тогда и только тогда, когда они равны.
Деление многочлена на линейный двучлен.
Пусть				,	,	, где
произвольное комплексное число.
Разделим многочлен			на двучлен	:		,
где						.
Итак, получаем тождество:
					.
Если подставить в это равенство				, то получим:
					.
Таким образом, остаток от деления многочлена					на	равен значению
многочлена	:
				.

Замечание.

При необходимости вычисления коэффициентов многочлена и значения можно применить схему Горнера (см. ).

Теорема Безу.
Для того чтобы многочлен		делился на	, необходимо и достаточно,
чтобы было корнем многочлена		.
Доказательство.
Необходимость. Пусть многочлен		делится на		:	, тогда
	, т.е.	корень многочлена		.
Достаточность. Пусть	, тогда из равенства
получим:	, т.е. многочлен		делится на		.
Теорема доказана.

182

§ 2. Разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен , .

По основной теореме алгебры он имеет, по крайней мере, один комплексный корень .

Следовательно, по теореме Безу:		, где	многочлен степени
; обозначим его через		. Тогда получаем равенство:
		.
Если	, то опять же по основной теореме алгебры многочлен
имеет, по крайней мере, один комплексный корень . Значит, по теореме Безу:
	, где	многочлен степени	; обозначим его через
. Тогда получаем равенства:
			.
Продолжая этот процесс, мы дойдем на - м шаге до			и получим
разложение многочлена на линейные множители:

.

Раскрывая скобки в правой части этого равенства и приравнивая коэффициенты при слева и справа от знака равенства, получим: .

Таким образом, получаем разложение многочлена на линейные множители:

.

Из этого разложения видно, что

,

, … ,

корни многочлена

:

,

,

…,

,

причем других корней у многочлена

нет. Так как среди чисел

,

, … ,

могут

быть равные, то можно утверждать, что:

у любого многочлена степени

может быть не более чем

корней.

Пусть среди корней

,

, … ,

многочлена

число

встречается

раз,

число

встречается

раз, …,

число

встречается

раз, где

. Тогда

разложение многочлена на множители примет следующий вид:

.

В этом разложении

,

,

.

При этом число

называется корнем кратности

, число

называется корнем

кратности

, … , число

называется корнем кратности .

Если

, то

называется простым корнем; если

, то

называется

кратным корнем многочлена.

Условимся далее считать каждый корень многочлена столько раз, какова его

кратность. Тогда справедливо утверждение:

любой многочлен степени имеет ровно

корней (с учетом их кратности).

Примеры.

1).

;

183

здесь	- корень кратности ;	- корень кратности	;
	- простой корень,	- степень многочлена.
2). Разложить на линейные множители многочлен			.

.

Здесь	- простой корень,	- корень кратности ;	- корень
кратности ;	- степень многочлена.

Таким образом, для определения кратности каждого корня многочлена надо разложить этот многочлен на линейные множители и выяснить, с каким показателем степени входит соответствующий множитель в данное разложение.

Можно дать определение кратности корня и в следующей равносильной форме.

	Число	называется корнем кратности многочлена		, если этот многочлен
можно представить в виде:
			,
где	натуральное число, а		некоторый многочлен и	.
	Например, если		, то	- корень кратности
многочлена		, так как	- многочлен и	.

§ 3.

Многочлены с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим алгебраический многочлен от комплексной переменной с

вещественными коэффициентами:

,

где

,

, ,

, …, .

Для таких многочленов справедливо свойство (см. § 1 главы 6):

,

где

- комплексно-сопряженное числу

.

Следовательно, если

- комплексный корень многочлена

, то

- тоже

корень этого многочлена. Действительно:

,

- корень

.

Докажем более общее утверждение.

Теорема.

Если - комплексный корень многочлена

кратности

, то

- тоже корень

этого многочлена кратности .

184

Доказательство.

Пусть

- корень многочлена

кратности , т.е.

,

где

некоторый многочлен и

. Тогда имеем:

.

По свойству комплексно-сопряженных чисел (см. § 1 главы 6) имеем следующие

равенства:

.

Пусть

- это некоторый многочлен, причем

.

Тогда получим:

, где

- некоторый многочлен и

.

А это означает, что

- корень кратности многочлена

. Теорема доказана.

Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители.

Из доказанной теоремы следует, что комплексные корни многочлена можно разбить на пары взаимно-сопряженных корней одной и той же кратности. А именно:

если	- корень многочлена	кратности , то		- тоже корень
многочлена	кратности (говорят, что комплексные корни «ходят в гости» парами).
Это означает, что в разложении многочлена

можно сгруппировать множители, соответствующие комплексно-сопряженным корням. Рассмотрим одну из таких пар.

				,
	где и	- вещественные числа,			,	;
	при этом дискриминант							.
	Обозначим через ,		… ,	- вещественные корни многочлена				кратностей,
соответственно		;	а через	,		, … ,	- пары комплексно -
сопряженных корней многочлена				кратностей, соответственно				.
	Тогда получим разложение многочлена					на линейные и квадратичные
множители с вещественными коэффициентами:
									,
где						,	,	.
	Условие	- означает, что квадратичные множители не имеют

действительных корней, и они уже не могут быть разложены в произведение линейных множителей с вещественными коэффициентами.

185

Пример 1.

Разложить многочлен

на множители с вещественными

коэффициентами.

Решение.

Корнями этого многочлена являются корни 5-й степени из единицы (см. Пример 8

из § 6 главы 6):

.

Среди них - один вещественный корень:

и две пары комплексно-

сопряженных корней:

,

.

Составим квадратичные множители

и

, где

,

,

,

.

Ответ.

.

Пример 2.

Составить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами,

имеющий следующие корни:
простой корень	; корень	кратности ; корень	кратности .
Решение.
Искомый многочлен имеет комплексно-сопряженные корни			кратности и

кратности , а также вещественный корень кратности . Следовательно, многочлен наименьшей степени с этими корнями и с

вещественными коэффициентами имеет вид:

.

Ответ.

.

Многочлены с вещественными коэффициентами и от вещественной переменной.

Если для многочлена в качестве переменной рассматриваются только вещественные значения , то получаем многочлен с вещественными коэффициентами и от вещественной переменной:

, где , , , , …, .

Для таких многочленов, очевидно, также справедливо разложение на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами:

,

где

,

,

.

186

§ 4. Рациональные дроби.

Ранее было уже введено понятие рациональной дроби (см. § 8 главы 2) от вещественной переменной как отношение двух многочленов:

				, где	.
Многочлен является частным случаем рациональной дроби при					.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше
степени знаменателя			, в противном случае	дробь называется

неправильной.

Если рациональная дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, используя операцию деления с остатком (см. § 1). Это действие называется выделением целой части из дроби.

Например:

; здесь

- неправильная дробь,	- целая часть, а		- правильная дробь.

Далее подробнее рассмотрим правильные дроби.

Среди правильных дробей выделяют так называемые простейшие дроби.

Определение.

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих типов:

.

,

.

,

.

,

.

,

где

заданные вещественные числа,

вещественная переменная,

натуральное число,

,

.

Условие

означает, что квадратичные множители в знаменателях

дробей не могут быть разложены в произведение линейных множителей с

вещественными коэффициентами.

Примеры простейших дробей:

- дробь

типа;

- дробь

типа;

- дробь

типа;

- дробь

типа.

Из приведенной ниже теоремы следует, что любая правильная дробь может быть выражена через простейшие дроби.

187

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

Теорема.

Пусть		- правильная рациональная дробь и знаменатель

разложен на линейные и квадратичные множители:

.

Тогда дробь

может быть разложена в сумму простейших дробей

типов, при этом:

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

и

типов

;

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь

типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

и типов

.

При этом возникающие коэффициенты , , … ,

, , , … ,

- называются

неопределенными коэффициентами; они подлежат определению.

Доказательство этой теоремы можно найти в

.

Например:

,

;

,

;

,

;

,

.

Эти равенства справедливы при любых допустимых значениях

, т.е. представляют

собой тождества.

Для вычисления неопределенных коэффициентов есть несколько методов. Основной метод заключается в следующем. От равенства дробей переходим к

равенству многочленов, которые получаются слева и справа от знака равенства после умножения на общий знаменатель.

Равенство многочленов означает равенство их коэффициентов при одинаковых степенях . Составляем систему уравнений, приравнивая неопределенные

188

коэффициенты с одной стороны и конкретные значения с другой стороны. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.

Иногда удобнее применять другой метод: подставлять конкретные значения переменной в эти многочлены и получать значения неопределенных коэффициентов, или уравнения относительно них.

Можно также и комбинировать эти 2 метода.

Примеры.

1)								.

Умножим обе части этого равенства на общий знаменатель:

																																			.
		Подставляя в это равенство значения																					,						,					, получим:
		;																					;												.
Следовательно:																																		.
2)																													.						.
		Подставляя в это равенство значения																					,						,				,		, получим:
		;																															;
		;																																	;
																							.
Следовательно:																																.
3)																					.												.

Раскрываем скобки в правой части этого тождества:

	.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях	многочленов, стоящих
слева и справа от знака равенства, получим систему уравнений:
. Решая эту систему, получим:	.

																			189
Следовательно:															.
4)												.							.
	Подставляя в это равенство значение													, получим:					.
Раскрываем скобки в правой части тождества:
																			.
	Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях																		многочленов, стоящих
слева и справа от знака равенства, получим систему уравнений:
				. Решая эту систему, получим:															.
			Следовательно:																				.

190

II. Задачи и упражнения.

Задачи к главе 1.											Основные понятия.
Доказать следующие утверждения методом математической индукции																																															:
1.1.																										1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.																,										1.8.																			,
1.9.																,										1.10.																			,
Найти суммы и произведения																										:
1.11.																										1.12.
1.13.																										1.14.
1.15.																										1.16.
Записать в виде обыкновенной несократимой дроби																																													:
1.17.																1.18.																					1.19.
Для заданных множеств																	и найти				,					, \ ,											\										:
										1.20.											,
										1.21.											,
										1.22.											,

1.23. множество всех бесконечных десятичных периодических дробей , множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей

Вычислить (записать без знака модуля)							:
1.24.
1.25.				если
1.26.						если
Решить уравнения и неравенства с модулем							: