Введение в мат. анализ
.pdf31
используем формулы
,
что и требовалось доказать.
Следовательно, формула бинома Ньютона верна для всех .
32
Глава 2. Последовательности и функции.
Содержание
§1. Числовые последовательности…………………………………………….. 33
§2. Арифметическая и геометрическая прогрессии………………….. 34
§3. Простейшие свойства последовательностей……………………….. 36
§4. Понятие функции……………………………………………………………………. 39
§ 5. Основные характеристики функции ……………………………………… |
43 |
|
§ 6. |
Обратная функция …….…………………………………………………………. |
47 |
§ 7. Основные элементарные функции ……………………………………… |
49 |
|
§ 8. |
Классы элементарных функций ………..…………………………………. |
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
||
|
|
|
|
|
|
|
§ 1. Числовые последовательности. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Определение. Пусть каждому натуральному числу |
поставлено в соответствие по |
|||||||||
некоторому правилу (закону) действительное число . |
Тогда говорят, что задана |
|||||||||||||
последовательность чисел или числовая последовательность |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
Число – первый член последовательности, число |
– второй член |
|
|
|
||||||
последовательности, …, число |
– -й член последовательности и т.д. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Числовая последовательность обычно задается формулой ее |
- го (общего) члена: |
|||||||||
|
|
|
|
Примеры числовых последовательностей: |
|
|
|
|
|
|
||||
- |
|
|
|
|
|
|
– последовательность натуральных чисел, |
|
; |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
– последовательность квадратов натуральных чисел, |
; |
|
|
||||
- |
|
|
|
|
|
|
– последовательность чисел, обратных к натуральным числам, |
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
….} – числовая последовательность, в которой на четном месте |
|||||||
стоит |
|
|
|
, а на нечетном месте стоит , |
; |
|
|
|
|
|
||||
- |
|
|
|
|
|
|
….} – постоянная последовательность, |
|
( – произвольное число). |
|||||
|
|
|
|
Если последовательность задана формулой общего члена |
, |
то можно |
вычислить значение любого члена этой последовательности, подставив в формулу значение номера .
Числовая последовательность может быть задана рекуррентным соотношением, т.е. формулой, выражающей каждый член последовательности через предыдущие члены:
рекуррентное соотношение.
Вэтом случае дополнительно задаются один или несколько первых членов последовательности.
Пример. Последовательность задана рекуррентной формулой: |
. |
|
Найти . |
|
|
Решение. |
; |
; |
|
. |
|
Ответ.
Таким образом, если последовательность задана рекуррентным соотношением,
то для вычисления нужно вычислить все предыдущие значения до |
. |
||
Интересным примером числовой последовательности, заданной рекуррентным |
|||
соотношением, является последовательность чисел Фибоначчи: |
|
||
, |
; |
. |
|
Первые члены этой последовательности: |
|
|
|
; |
|
; |
; |
; |
|
; |
и т. д. |
Получаем последовательность чисел Фибоначчи: |
|
. |
Важными примерами числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.
34
§ 2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность , для всех членов которой выполняется равенство:
.
Число называется разностью арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же слагаемого, не зависящего от номера .
Таким образом, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением. Арифметическая прогрессия может быть задана и формулой общего
( -го) члена:
.
Вывод формулы. Докажем формулу общего члена методом математической индукции.
) база индукции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
верное равенство. |
||||||||
б) индукционный переход; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пусть при |
имеем верное равенство: |
|
|
|
|
|
|
; надо доказать, что |
|||||||||
равенство верно и для |
|
|
|
, т.е. |
|
|
. |
||||||||||
Для этого запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, что и |
||
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Арифметическая прогрессия полностью определяется заданием ее первого члена |
||||||||||||||||
и разности : |
{ |
; |
; |
; |
|
|
|
|
; ….}. |
||||||||
|
Примеры арифметическая прогрессий: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
- |
, |
(здесь: |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
, |
(здесь: |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
|
, |
(здесь: |
|
|
. |
|
|
||||||||
|
Обозначим через |
сумму первых |
членов арифметической прогрессии: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
. |
|
|
|||
Например: |
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|||
Докажем формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Применим метод математической индукции. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
) база индукции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верное равенство. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) индукционный переход; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пусть при |
имеем верное равенство: |
|
|
|
|
|
|
; надо доказать, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
что равенство верно и для |
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
35
Для этого запишем:
. Формула доказана.
Например:
|
Определение. Геометрической прогрессией называется такая числовая |
|
последовательность |
, для всех членов которой выполняется равенство: |
|
|
|
. |
Число |
называется знаменателем геометрической прогрессии. |
|
|
Каждый член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего |
|
члена на один и тот же множитель, не зависящий от номера . |
||
|
Таким образом, геометрическая прогрессия задается рекуррентным |
соотношением. Геометрическая прогрессия может быть задана и формулой общего ( -го) члена:
.
Вывод формулы. Докажем формулу общего члена методом математической индукции.
) база индукции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
при |
имеем: |
|
|
|
верное равенство. |
|
|||||||||||||||||||
б) индукционный переход; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
пусть при |
|
|
|
|
имеем верное равенство: |
|
; надо доказать, что |
|
|||||||||||||||||
равенство верно и для |
|
|
|
, т.е. |
|
. Для этого запишем: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, что и требовалось доказать. |
|
||||||
|
Геометрическая прогрессия полностью определяется заданием ее первого члена |
||||||||||||||||||||||||
и знаменателя : |
|
|
|
|
|
|
. |
Далее предполагается, что |
. |
||||||||||||||||
Если |
|
, то все члены геометрической прогрессии равны между собой: |
. |
||||||||||||||||||||||
|
При |
|
|
|
|
все члены геометрической прогрессии одного знака, а при |
знаки |
||||||||||||||||||
членов геометрической прогрессии чередуются. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Примеры геометрических прогрессий: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(здесь |
|
); |
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(здесь |
, |
); |
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Обозначим через |
сумму первых |
членов геометрической прогрессии: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
. |
|
|
|
|
|
Например: |
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
и т.д. |
|
36
Если |
, то |
. |
Пусть |
, тогда справедлива следующая формула: |
( ).
Вывод формулы. Применим метод математической индукции. ) база индукции;
при |
имеем: |
|
|
|
|
|
верное равенство. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) индукционный переход; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
пусть при |
|
|
|
|
|
|
имеем верное равенство: |
|
|
|
|
|
; надо доказать, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство верно и для |
, т.е. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для этого запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
. Формула доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
§ 3. Простейшие свойства последовательностей.
Рассмотрим свойства последовательностей: монотонность и ограниченность.
Определение. Числовая последовательность называется возрастающей (строго возрастающей), если каждый ее член не меньше (больше) предыдущего, т.е. для
всех натуральных |
верно неравенство: |
. Обозначение: |
. |
Определение. Числовая последовательность |
называется убывающей |
|
|
(строго убывающей), если каждый ее член не больше (меньше) предыдущего, т.е. |
для |
||
всех натуральных |
верно неравенство: |
. Обозначение: |
. |
Определение. Числовая последовательность |
называется монотонной |
|
(строго монотонной), если она является возрастающей (строго возрастающей) или
убывающей (строго убывающей).
Примеры: |
|
||||||
- |
|
строго , т.к. |
; |
||||
- |
|
строго , т.к. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
- |
|
не является монотонной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|||
Пример. Определить характер монотонности числовой последовательности |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Сравним значения |
и : |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. |
|
|
строго . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замечание. Понятие монотонности сохраняется, если неравенство |
|
|
или |
|
|||||||||||||||||||||
выполняется для всех натуральных чисел |
|
, начиная только с какого-то номера, т.е. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
где |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Арифметическая прогрессия является строго возрастающей при |
|
и строго |
|
|||||||||||||||||||||
убывающей при |
. Монотонность геометрической прогрессии определяется |
|
|||||||||||||||||||||||
следующими условиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
; |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
– не монотонна. |
|
|||||||
2. |
|
|
; |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
– не монотонна. |
|
|||||||
|
Определение. Числовая последовательность |
называется ограниченной сверху, |
|||||||||||||||||||||||
если |
|
такое, что |
выполняется неравенство: |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Определение. Числовая последовательность |
называется ограниченной снизу, |
|
||||||||||||||||||||||
если |
|
такое, что |
выполняется неравенство: |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Определение. Числовая последовательность |
называется ограниченной, если |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
такие, что |
выполняются неравенства: |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Замечание. Определение ограниченной последовательности равносильно следующему |
|
||||||||||||||||||||||||
определению: |
ограниченная последовательность |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
Определение. Числовая последовательность |
называется неограниченной, |
|
||||||||||||||||||||||
если она не является ограниченной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Используя отрицание к понятию |
ограниченная последовательность |
можно дать |
|
|||||||||||||||||||||
следующее определение неограниченной последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
неограниченная последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1). |
|
|
|
|
ограниченная последовательность, т.к. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
|
ограниченная последовательность, т.к. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
ограниченная последовательность, т.к. |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
4). |
|
|
|
|
|
ограниченная последовательность, т.к. |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь: |
|
|
неограниченная |
|
последовательность.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
Действительно: согласно аксиоме Архимеда |
|
|
|
натуральное число |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возьмем |
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6). |
, ( |
|
|
|
|
фиксированное число) неограниченная последовательность. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
составим число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; согласно аксиоме Архимеда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
натуральное число |
|
|
; |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7). |
, ( |
|
|
|
|
|
фиксированное число) |
неограниченная последовательность. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
составим число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; согласно аксиоме |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Архимеда |
натуральное число |
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Последовательность |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим последовательность, имеющую важное значение в теории пределов и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданную общим членом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем данную последовательность на монотонность и ограниченность. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Исследование на монотонность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1-й способ. Этот способ основан на применении неравенства Бернулли (глава 1, § 3): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|
; если |
|
|
|
, то неравенство |
строгое. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
или равносильное неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для этого |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
запишем сначала цепочку равенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Далее применим неравенство Бернулли для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Продолжаем цепочку равенств и неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получили неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, данная |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность строго возрастает: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й способ. Этот способ основан на применении формулы бинома Ньютона (глава 1, §11):
Подставляя в эту формулу |
|
, получим: |
|
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Заметим, что |
|
представляет собой сумму положительных слагаемых, т.к. каждая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скобка имеет вид: |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, причем |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При переходе от к |
|
|
|
|
|
количество положительных слагаемых в сумме увеличится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на 1, а в каждом слагаемом скобки |
|
|
|
|
заменятся на скобки |
|
|
|
|
. Так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то каждое слагаемое в |
также увеличится по сравнению с . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
, т.е. последовательность строго возрастает: |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Исследование на ограниченность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Выше было показано, что последовательность |
|
ограничена снизу: |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что она ограничена и сверху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
В разложении |
|
|
|
|
|
по формуле бинома Ньютона все скобки вида |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ограничены: |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Поэтому можно сделать оценку: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное неравенство можно усилить, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке вычислим по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, последовательность |
|
|
, где |
|
|
, возрастает и |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
ограничена: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. Понятие функции.
Определение. Пусть даны числовых множества и . Функцией из |
в |
называется закон (правило, соответствие), по которому каждому элементу |
из |
множества соответствует единственный элемент из множества . |
|
40
Элемент называется независимой переменной (аргументом), а элемент
называется зависимой переменной (функцией). |
|
|
Обозначения: |
. |
|
Например, числовая последовательность |
это функция, заданная на |
|
множестве натуральных чисел: |
|
. |
Если множества и не заданы, а указано только правило |
, по которому |
|
элементу соответствует элемент , то в этом случае считается, что |
. Тогда |
функцией называется само правило . При этом возникает задача нахождения области определения и области значений функции.
Определение. Областью определения функции |
называется множество всех |
||||||||
значений |
, при которых |
имеет смысл. Обозначения: |
, |
или . |
|
|
|||
Областью значений функции |
называется множество всех значений |
, |
которые |
||||||
может принимать функция |
при |
|
. |
Обозначения: |
, |
или . |
|
||
Замечание. Из определения функции следует, что одному и тому же значению |
|
не могут |
|||||||
соответствовать различные значения |
т.е. |
если |
и |
, |
то |
. |
|||
С другой стороны, различным значениям |
может соответствовать одно и то же значение |
||||||||
, т.е. если |
и |
, |
то |
и |
не обязательно совпадают. |
|
|
) возможно |
б) невозможно |
Способы задания функции.
1). Табличный способ. Функция задается с помощью таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции:
…
…
Например, табличный способ применяется при записи результатов экспериментов, когда никакие формулы заранее неизвестны.
2). Графический способ. Функция задается с помощью графика.