Введение в мат. анализ

61

§ 1. Понятие предела последовательности.

Дана числовая последовательность					.
Определение. Число		называется пределом последовательности					, если для
любого положительного числа			существует такое натуральное число			, что все значения
, у которых номер	, удовлетворяют неравенству:					.
Обозначения:			,	,	,		.
При этом говорят, что последовательность				сходится (стремится) к числу
(при , стремящемся к	). Запишем определение предела в символической форме:
						.
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в
противном случае она называется расходящейся.
Определение предела последовательности можно сформулировать и так:
Число называется пределом последовательности					, если значения

отличаются от числа	сколь угодно мало ,		начиная с некоторого места , т.е. для
всех достаточно больших номеров .
Выражение сколь угодно мало означает, что неравенство:
выполнено для произвольных		, а номер	как раз и указывает то	место, начиная
с которого выполняется это неравенство для всех номеров , б льших .
есто, начиная с которого		выполняется это неравенство, зависит, вообще говоря,
от . Поэтому в записи этого номера указан индекс . При уменьшении числа , как
правило, увеличивается этот номер		: чем большей близости значений		к числу

требуется, тем более далекие значения последовательности приходится рассматривать.

Пример 1.

. Здесь

, например:

;

;

и т.д.

Видно, что значения

сколь угодно мало отличаются от

числа 0, начиная с некоторого места . Поэтому можно предположить, что

последовательность

стремится к 0. Покажем, что это действительно так:

.

Пусть

;

. Если взять в качестве

натуральное

число, большее или равное числу

, то неравенство

будет выполнено для

всех

.

Таким числом можно взять, например,

целую часть числа

.

Итак, пусть

; тогда имеем: для любого положительного числа

существует

такое натуральное число

, что для всех натуральных

выполнено неравенство:

.

Это и означает, что

.

62

Пример 2.

; например:

;

и т.д. Видно, что значения

, начиная с некоторого места ,

сколь угодно мало

отличаются от числа 0,5. Поэтому можно предположить, что

стремится к 0,5.

Покажем, что это действительно так:

.

Пусть

;

.

Если взять в качестве

натуральное число, большее или равное

, то неравенство

будет

выполнено для всех

. Таким числом можно взять

целую часть числа

.

Итак, пусть

; тогда имеем: для любого положительного числа

существует такое натуральное число , что для всех натуральных

выполнено

неравенство:

.

Это и означает, что

.

Продолжим обсуждение определения предела последовательности.

Неравенство

равносильно следующим условиям:

,

где

-окрестность точки . Поэтому определение предела

можно записать в следующей форме:

.

В этом заключается геометрический смысл предела последовательности:

Число

предел последовательности

, если любая окрестность точки

содержит бесконечное число ее членов, более того: содержит все члены, начиная с

некоторого номера . Вне этой окрестности может оказаться лишь конечное число

членов:

.

Пример 3.	постоянная последовательность,				, где
произвольное число.	В любой - окрестности точки	содержится бесконечное
число членов последовательности, а точнее, все ее члены:				,	.

Поэтому предел постоянной последовательности равен :		.
Пример 4.	последовательность, у которой на
четных местах стоит 1, а на нечетных стоит	.

63

Эта последовательность бесконечное число раз принимает значение					и бесконечное
число раз принимает значение		. Проверим, может ли предел равняться 1 или .
Рассмотрим произвольную		- окрестность точки 1, но такую, чтобы она не
содержала точку	:	. Эта окрестность хотя и содержит бесконечное число
членов, но не все ее члены, с какого бы места ни начинать, т.к. члены с нечетными
номерами всегда будут лежать вне этой окрестности.
Аналогично можно рассуждать и с			- окрестностью точки		. Следовательно,
ни число 1, ни число	не могут быть пределом данной последовательности.
Проверим, может ли какое-нибудь другое число				быть пределом этой
последовательности. Пусть		; рассмотрим такие		- окрестности		точки ,
которые не содержат ни точки 1, ни точки			:	. Эти окрестности не содержат
ни одного члена последовательности, следовательно, число никак не может быть
пределом.
Таким образом, получили, что			не имеет предела, т.е. последовательность
является расходящейся.

Теорема (о единственности предела).
Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство.
Предположим, что это не так, т.е. существуют по крайней мере 2 различных
предела и	, и пусть, например		. Рассмотрим такие	- окрестности	и
точек	и , которые не пересекаются:			. Это возможно, если
	, т.е. при		.

Согласно определению предела в каждой из этих окрестностей должны находиться

все члены последовательности, начиная с какого-то места. Это означает, что
			и				.
Пусть		, тогда	выполняются условия:				и		,
т.е.		. Но это невозможно, т.к.			пустое множество			не
содержит ни одного элемента. Это противоречие показывает, что последовательность не
может иметь более одного предела. Теорема доказана.
Замечание 1.	Пусть				заданная последовательность;
тогда			хвост	(остаток) этой последовательности (

фиксированное натуральное число). Так как для предела существенны лишь

достаточно большие номера , то сходимость самой последовательности равносильна

сходимости ее хвоста , причем: . В частности:

… и т.д. Например:

64

Замечание 2. Пусть две сходящиеся последовательности

и

полностью совпадают

или совпадают, начиная с некоторого места:

.

Тогда из единственности предела следует, что обе последовательности сходятся к

одному и тому же пределу:

.

§ 2. Простейшие свойства.

Дана сходящаяся последовательность

,

.

Свойство 1. Если число

такое, что

, то и все значения

, начиная с некоторого

места, будут больше

, т.е.

.

Если число

такое, что

, то и все значения , начиная с некоторого места, будут

меньше , т.е.

.

Доказательство.

По определению предела

.

Возьмем в качестве

число, удовлетворяющее условиям:

; тогда

. Таким образом,

.

Если в качестве

взять число, удовлетворяющее условиям:

, то

.

Таким образом,

.

Свойство доказано.

Свойство 2.

Если

, то и все значения

, начиная с некоторого места, будут больше ,

т.е.

. Если

, то и все значения

, начиная с некоторого

места, будут меньше

, т.е.

.

Это свойство следует из свойства 1 при

и

.

Свойство 3.

Если

, то все значения

, начиная с некоторого места, будут больше по

абсолютной величине некоторого положительного числа, т.е.

,

.

Доказательство.

Пусть

;

возьмем число

такое, что

. По свойству 1 все значения

, начиная с некоторого места, будут больше

:

; тогда

.

Пусть

;

возьмем число

такое, что

. По свойству 1

все значения

, начиная с некоторого места, будут меньше

:

; тогда

.

Таким образом, начиная с некоторого места:

, где

или

, т.е.

,

.

Свойство доказано.

Свойство 4 (ограниченность). Сходящаяся последовательность

ограничена, т.е.

.

Доказательство.

По определению предела

.

Возьмем

; тогда

.

65

Пусть ; тогда , т.е. хвост последовательности ограничен. Вне этого ограничения могут быть лишь значения:

. Так как этих значений	конечное число, то можно выбрать среди них
наибольший по модулю:	. Пусть	; тогда

. Свойство доказано.

§ 3. Бесконечно малые величины.

Определение. Бесконечно малой величиной (сокращенно: б.м.в.) называется

последовательность, стремящаяся к нулю:

б.м.в.

.

Используя понятие предела, можно дать следующее определение бесконечно

малой величины:

б.м.в.

.

Другими словами, последовательность

называется бесконечно малой

величиной, если значения

отличаются от нуля

сколь угодно мало , начиная с

некоторого места , т.е. для всех

достаточно больших номеров .

Замечание. Из определения следует:

б.м.в.

б.м.в.

б.м.в.

Примеры бесконечно малых величин.

1).

,

(см. Пример 1 из §1).

2).

,

(

фиксированное число).

Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной (при

получаем предыдущий пример).

б.м.в.

.

.

Пусть

, тогда при

имеем:

.

Таким образом:

, а это и означает, что

б.м.в., т.е.

.

В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности:

,

,

,

,

,

и т.д.

3).

,

(

фиксированное число).

Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной. При

это очевидно; пусть

.

б.м.в.

.

66

(прологарифмируем это неравенство по основанию ; при этом

неравенство поменяет знак, т.к. основание логарифма

)

.

Пусть

(если

, то

;

;

тогда при

имеем:

.

Таким образом:

, а это и означает, что

б.м.в., т.е.

.

В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности:

,

,

,

и т.д.

Связь сходящейся последовательности с бесконечно малой величиной.

Дана сходящаяся последовательность

,

. Введем новую

последовательность

, где

.

По определению:

б. м. в.

б. м. в.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы последовательность

сходилась к числу

, необходимо и

достаточно, чтобы разность между ними

была бесконечно малой величиной.

Так как

, где

б. м. в., то

, где

б. м. в.

Поэтому утверждение теоремы можно записать в следующем виде:

где

б м в

Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию

. Составим последовательность

ее частичных сумм

, где

,

По формуле суммы первых

членов геометрической прогрессии (см. главу 2, § 2) имеем:

.

Получили равенство:

, где

б.м.в.

Следовательно,

. Полученный результат можно записать в виде:

(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

§ 4. Свойства бесконечно малых величин.

Свойство 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

Доказательство. Докажем это утверждение для случая 2-х слагаемых. В общем случае

доказательство проводится аналогично. Пусть			и	б.м.в.; составим их сумму
,	. Пусть	; согласно определению бесконечно малой величины для

67

и

. Возьмем

; тогда при

выполнены оба неравенства:

и

.

Следовательно,

. Таким образом:

.

Это означает, что

б.м.в.

Свойство доказано.

Свойство 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть

бесконечно малая величина.
Доказательство. Пусть			б.м.в., а			ограниченная величина, т.е.
			. Составим их произведение					. Пусть	;
согласно определению бесконечно малой величины для
	; тогда					. Таким образом:
		. Это означает, что				б.м.в.	Свойство доказано.

Замечание. Под ограниченной величиной здесь и далее понимается ограниченная последовательность, а под постоянной величиной понимается постоянная последовательность.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть

бесконечно малая величина:

б.м.в.,

const

б.м.в.

Действительно, т.к. постоянная величина является ограниченной, то из свойства 2

получаем это утверждение.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой величины на сходящуюся

последовательность есть бесконечно малая величина.

б.м.в.,

сходится

б.м.в.

Действительно, т.к. сходящаяся последовательность является ограниченной, то из

свойства 2 получаем это утверждение.

Следствие 3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин есть

бесконечно малая величина:

,

б.м.в

б.м.в.

Действительно, бесконечно малая величина является сходящейся

последовательностью, а значит и ограниченной величиной; произведение ограниченных

величин естественно также является ограниченной. В результате имеем произведение

одной бесконечно малой величины

на другую ограниченную величину

.

Следовательно, получим бесконечно малую величину.

Примеры.

1.

, т.к.

б.м.в. (сумма 3-х б.м.в.).

68

2.

, т.к.

б.м.в. (произведение б.м.в. на ограниченную

величину).

3.

, т.к.

б.м.в. (произведение 2-х б.м.в.).

4. Пусть

. Рассмотрим последовательность

, где

частичные суммы

,

Покажем, что последовательность

сходится.

Воспользуемся очевидным тождеством:

.

Тогда можно записать:

. Итак:

, где

б.м.в. Следовательно (см.

теорему из §3),

, т.е.

.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

,

. Составим

последовательность ее частичных сумм

, где

сумма первых

членов прогрессии.

По формуле (см. главу 2, § 2) имеем:

,

где

,

б.м.в. (произведение б.м.в. на постоянную величину).

, где

б.м.в.

.

Следовательно, последовательность частичных сумм

сходится и ее предел

равен

. Этот предел называется суммой бесконечно убывающей геометрической

прогрессии:

.

Например:

;

.

§ 5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

Даны последовательности		и	. Составим новые последовательности:
сумму,	разность,		произведение и		частное этих

последовательностей.

69

Теорема. Пусть последовательности

и

сходятся:

,

. Тогда

сходятся их сумма, разность и произведение, причем:

1.

;

2.

;

если

, то сходится и частное этих последовательностей, причем:

3.

.

Доказательство. Так как последовательности

и

сходятся, то

,

,

где

и

б.м.в.

1.

отличается от

постоянного числа

на бесконечно малую величину

.

Согласно теореме из §3

заключаем, что

.

2.

отличается от постоянного числа

на бесконечно малую величину

. По теореме из §3 заключаем, что

.

3.

;

величина

б.м.в.; покажем, что величина

ограничена.

Так как

, то по свойству 3 из §2

для всех

натуральных , начиная с некоторого места и в частности, для всех этих

выполнено

условие:

. Тогда имеем:

, начиная с

некоторого места. Следовательно, величина

ограничена,

а значит,

последовательность

б.м.в., как произведение б.м.в. на

ограниченную величину (см. свойство 2 из §4).

Таким образом,

отличается от постоянного числа

на бесконечно малую

величину. Поэтому

. Теорема доказана.

Подведем первые итоги. Доказанная теорема, а также результаты, полученные выше, позволяют сформулировать некоторые правила, облегчающие вычисление пределов некоторых последовательностей.

Правила вычисления пределов последовательностей.

Пусть

и

сходящиеся последовательности,

,

,

.

Тогда: 1. 2. 3. 4.

70

5. если

6.

7. .

Примеры.

Вычислить следующие пределы:

1)			;		2)						; 3)									;
4)						;	5)											; 6)								;
7)				;	8)										; 9)							.

Решение. 1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6)

2.