Введение в мат. анализ

161

Замечание.

Очевидно, что справедлива и следующая формула:

.

Пример 1.

Вычислить

.

Решение.

Представим число

в тригонометрической форме.

,

,

;

.

По формуле Муавра получим:

Ответ.

.

.

Пример 2.

Вычислить

.

Решение.

,

;

;

;

.

Ответ.

.

Приложения формулы Муавра в тригонометрии.

1. Выражение тригонометрических функций кратного аргумента:

через тригонометрических функции исходного аргумента:

.

В формуле Муавра (при

):

левую часть можно разложить по формуле бинома Ньютона. В результате получим равенство двух комплексных чисел.

Приравнивая вещественные и мнимые части этих комплексных чисел, получим

формулы, выражающие	и	через	и	.
Пример 3.
Выразим	и	через		и	.
По формуле Муавра:				.
По формуле бинома Ньютона:

162

.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части (см.§1). Поэтому имеем следующую систему равенств:

.

После упрощений получим:

,

,

.

Получили следующие формулы:

,

,

.

Аналогичные формулы получаются для

и т.д.

2. Выражение тригонометрических функций

где

линейно

относительно тригонометрических функций кратных аргументов.

Пусть					, тогда
			,
		,			,

Из этих формул получаем:

Далее применяем формулу бинома Ньютона.

,							, откуда
		,					.
,					.

Пример 4.
Выразим				и		линейно через тригонометрические функции кратных
аргументов.

.

163

.

Получили следующие формулы:
											.
						,
Аналогичные формулы получаются для								и т.д.
3. Преобразование сумм вида:
						и				.
Введем обозначения:					,		;			тогда
,							,			,
,							.
Преобразуем выражение				:

сумма членов геометрической прогрессии

.

Приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел, получим:

,

.

Таким образом, получаем формулы:

,

.

Например:

;

.

164

6. Извлечение корня из комплексного числа.

Пусть

натуральное число

,

комплексное число

.

Определение. Корнем

из комплексного числа называется такое

- й степени

комплексное число ,

-я степень которого равна

:

.

Если

, то

.

Теорема.

Если

, то существует ровно

различных значений

.

Доказательство.

Пусть комплексное число

задано в тригонометрической форме:

,

.

Искомое число

также представим в тригонометрической форме:

,

где и

неизвестные величины (модуль и аргумент),

. Тогда

.

Число

определяется однозначно из уравнения:

(как арифметический

корень из положительного числа), а аргумент принимает значения:

среди которых различными будут ровно

значений, например, при

.

Таким образом, получаем ровно

значений уравнения

:

, где

,

,

.

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует формула корней - й степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме:

.

Из этой формулы следует, что все корни - й степени из заданного комплексного числа расположены в комплексной плоскости

на окружности радиуса с центром в начале координат.

Причем эти точки делят окружность на равных частей, образуя дуги

с центральным углом, равным .

																																																																			165
Пример 1.
Найти
							.
																																																																		,	.
Здесь имеем 3 значения корня:																						- соответствующие целым значениям																																													.
																,					,																																															.
Так как																			,																																									, то
																																																												,
																																																										,

,

.

Следовательно:

.

В случае квадратных корней					имеем следующую формулу:

Примеры.

2).

.

, т.е.

Замечание.

В этом примере число

рассматривается и как вещественное число, и как

комплексное число. Если

вещественное число, то

(арифметический корень), а

если

комплексное число, то

.

3).

, т.е. .

Решение квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим простейшее квадратное уравнение:

,

166

где

неизвестная величина, а

заданное вещественное число

.

Если

, то

пусть

, тогда

;

Итак:

.

;

.

Например:

;

.

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида:

,

где

неизвестная величина;

- заданные вещественные числа

.

Пусть

- дискриминант квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение равносильно уравнению следующего вида:

.

Используя решение простейшего квадратного уравнения, можно сформулировать

следующий результат.

Если

, то квадратное уравнение имеет только вещественные корни:

;

если

, то квадратное уравнение имеет комплексные корни:

Например:

.

.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Выведем формулу для квадратного корня из комплексного числа, заданного в

алгебраической форме.

Пусть

;

тогда

;

;

.

Таким образом, имеем:

,

где

,

. Выразим

и

через значения и .

Из формулы:

- получаем:

167

;

.

Можно считать, что

(случай

- рассмотрен выше).

Так как

, то

и

.

Если

, то

и

;

если

, то

и

.

Следовательно:

.

Таким образом, получаем формулу:

														, где						.
Примеры.
4).		здесь																					.
5).				здесь																.

Решение квадратного уравнения с комплексными коэффициентами.

Рассмотрим квадратное уравнение:

,

где неизвестная величина; - произвольные комплексные числа ; пусть - дискриминант квадратного уравнения. Теперь дискриминант может быть

вещественным или комплексным числом.

Формула корней квадратного уравнения с комплексными коэффициентами имеет такой же вид, как и в случае вещественных коэффициентов:

,

но здесь под выражением

понимаются все (два) значения квадратного корня.

Пример 6.

Решить уравнение:

.

Здесь

;

(см. Пример 5).

, .

168

Корни из единицы.

Для числа , как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, существует

ровно значений корня - й степени. Так как

, то для корней

- й

степени из имеет место формула:

.

Все корни из единицы имеют модуль,

равный ; поэтому точки на комплексной

плоскости, изображающие эти корни,

лежат на единичной окружности с центром

в начале координат и делят эту окружность

на равных частей, образуя дуги с

центральным углом, равным .

Один из

этих корней (при

) совпадает с числом .

Все корни

-й степени из

являются корнями уравнения:

.

При малых значениях

корни уравнения можно найти

непосредственно, решая это уравнение. При больших значениях

все корни уравнения

можно найти только из формулы для корней - й степени из .

Пример 7.

1).

, или по формулам:

.

2).

,

или по формулам:

,

,

.

3).

,

или по формулам:

,

,

,

.

Пример 8.

Решить уравнение:

.

169

Все корни этого уравнения - это корни -й степени из

:

.

,

,

,

.

Замечание.

В тригонометрии известна формула:

.

Используя это значение, можно выразить все корни уравнения

через

радикалы, например:

см

.

§ 7. Предел последовательности комплексных чисел.

Понятие предела.
Рассмотрим последовательность комплексных чисел						, где	,
и пусть		.
Определение.	Комплексное число		называется пределом последовательности
, если для любого положительного числа существует такое натуральное число							,
что все значения , у которых номер			, удовлетворяют неравенству:				.
Обозначения:		,		,	,	.
При этом говорят, что последовательность				сходится (стремится) к числу
(при , стремящемся к ). Запишем определение предела в символической форме:
						.
Другими словами, определение предела последовательности комплексных чисел
равносильно следующему определению:
				.
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в
противном случае она называется расходящейся.
Аналогично вводятся понятия бесконечно малых						и бесконечно
больших	величин:
		,				.

Замечание.

В отличие от последовательности вещественных чисел здесь не определено понятие бесконечно большой величины с определенным знаком или , так как для комплексных чисел нет понятий положительного или отрицательного числа.

Теорема 1.
Для того чтобы последовательность	стремилась к пределу
, необходимо и достаточно, чтобы последовательности		и	стремились,
соответственно к пределам и :

170

.

Доказательство.

.

,

Так как

,

и

то справедливы следующие неравенства:

.

Из неравенства:

- следуют неравенства:

и

,

а из неравенств:

и

- следует неравенство:

.

Это и означает равносильность сходимости последовательности

и сходимости

последовательностей и

. Теорема доказана.

Из теоремы следует справедливость равенства:

.

Таким образом, исследование последовательности комплексных чисел может быть заменено исследованием двух последовательностей вещественных чисел. При этом все основные теоремы о пределах для вещественной переменной будут справедливы и для комплексной переменной.

Пример 1.

.

Пример 2.

,

, где

,

. Последовательности

и

предела не имеют.

Следовательно,

- не существует.

Пример 3.

.

где

и

- из Примера 2.

,