1.1 Уравнения механического движения

Механическое движение от вала двигателя к исполнительному органу передается с помощью механического передаточного устройства (МПУ) (см. рис. В.1), которое в общем случае включает в себя различные механические элементы ‑ шестерни, канаты, валы, муфты сцепления, шкивы и т. д. Эти элементы вращаются или движутся поступательно с разной скоростью, имеют определенную жесткость и момент инерции (массу), а соединения между ними в общем случае содержат зазоры. Наличие этих свойств элементов МПУ вносит определенные искажения в процесс передачи движения от двигателя к исполнительному органу и требует соответствующего учета. Анализ механического движения осуществляется с помощью расчетных схем электропривода, получаемых по определенным правилам.

Механическое движение элементов электропривода описывается с помощью законов электромеханики. Из курса физики известно, что движение материального тела определяется вторым законом Ньютона, причем уравнение этого движения имеет вид:

для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

(1.1)

и для поступательно движущегося тела

(1.2)

где и‑ векторные суммы моментов или сил, действующих на тело;и‑ момент инерции и масса тела;

‑угловое ускорение вращающегося тела;

‑ускорение поступательно движущегося тела. Эти уравнения позволяют однозначно определить характер механического движения электропривода. Если или, то электропривод совершает движение с ускорением. В другом случае, когдаили, электропривод движется с установившейся скоростью или находится в состоянии покоя. Выражения

; (1.3)

называются условиями установившегося движения и в дальнейшем будут часто использоваться.

Поскольку при движении тела вокруг неподвижной оси или при поступательном движении тела вдоль прямолинейной оси все векторные величины направлены вдоль одной оси, то вместо них можно использовать скалярные величины. Поэтому в дальнейшем не используется запись уравнений движения в векторном виде.

Нахождение зависимостей скорости движения от времени (t) и (t) осуществляется путем решения (интегрирования) уравнений (1.1), (1.2). При этом должны быть известны момент инерции или масса, а также характер действующих моментов или усилий. В общем случае моменты и усилия могут зависеть от времени, скорости движения, положения тела в пространстве. Для нахождения изменения во времени углового(t) или линейного S{t) положения тела осуществляется интегрирование следующих дифференциальных уравнений:

; (1.4)

В некоторых случаях момент инерции или массаможет зависеть от времени или положения тела. Эти случаи относительно редко встречаются в практике электропривода и рассмотрены в [7, 33].

1.2 Расчетные схемы механической части электропривода

Элементы механической части привода механически связаны друг с другом и образуют единую кинематическую Цепь от двигателя к исполнительному органу. Каждый элемент имеет свою скорость движения и характеризуется моментом инерции или массой, а также совокупностью действующих на него моментов или сил. Движение любого элемента описывается одним из уравнений (1.1), (1.2), при использовании которых должно быть учтено взаимодействие этого элемента с остальной частью кинематической цепи, что удобно осуществлять путем приведения моментов и усилий, а также моментов инерции и масс. В результате • выполнения этой операции приведения реальная кинематическая схема заменяется расчетной энергетически эквивалентной схемой, основу которой составляет тот элемент, движение которого рассматривается.

Приведение указанных величин может быть осуществлено к любому элементу механической части электропривода, но, как правило, этим элементом является вал электродвигателя. Это позволяет наиболее полно исследовать характер движения привода и режим его работы, точнее формировать законы движения. Зная параметры кинематической схемы, можно определить и вид движения исполнительного органа. В некоторых более редких случаях поступают наоборот, осуществляя приведение всех величин к исполнительному органу.

Для выявления существа операции приведения обратимся к рис. 1.1,а, на котором показана кинематическая схема электропривода подъемной лебедки. Двигатель ЭД через соединительную муфту M1, редуктор Р и муфту М2 приводит во вращение барабан Б, на котором навит канат К. К концу каната, прикреплен крюк лебедки Кр (исполнительный орган механизма), к которому подвешивается груз массой т. Нагрузка электропривода определяется действием силы тяжести, а также трением движущихся частей.

Рис. 1.1. Схема механической части электропривода:

а —реальная; б — приведенная расчетная

Этот вид нагрузки привода, называемый обычно потерями на трение, учитывается КПД редуктора и барабана. После приведения моментов инерции, масс и сил в схеме рис. 1.1, а к валу двигателя получаем эквивалентную расчетную схему рис. 1.1,6, в которой подлежат определению приведенные значения момента нагрузки (сопротивления)М_С. и момента инерции . МоментМ_С в теории электропривода также называют статическим моментом.

Приведение момента нагрузки осуществляют исходя из равенства механической мощности нагрузки двигателя в реальной (рис. 1.1, а) и эквивалентной (рис. 1.1, 6) схемах. Приведение момента нагрузки выполняют двумя способами в зависимости от направлений потока энергии в механической части. Если производится подъем груза, то двигатель совершает полезную работу по подъему груза и покрывает потери мощности на трение в кинематической цепи. Энергия направляется от двигателя к исполнительному органу, и баланс мощностей в этом случае имеет вид

откуда

(1.5)

где М_С ‑ приведенный к валу двигателя момент нагрузки (сопротивления);  — угловая скорость ротора двигателя;

F_и,о ‑ сила тяжести; _и,о ‑ скорость подъема груза; ‑ радиус приведения кинематической цепи между двигателем и исполнительным органом.

При опускании груза теряемая им потенциальная энергия передается к двигателю. Поэтому потери на трение в кинематической цепи покрываются уже за счет этой энергии, и баланс мощностей имеет вид

откуда

(1.6)

По. аналогии с рассматриваемым случаем, если исполнительный орган совершает вращательное движение со скоростью и создает при этом момент нагрузкиМ_и,о приведенный к валу двигателя момент нагрузки М_с определится по одной из формул

; (1.7)

, (1.8)

где ‑ передаточное число кинематической цепи между валом двигателя и исполнительным органом; — КПД этой цепи.

Формула (1.7) справедлива при направлении потока энергии от двигателя к исполнительному органу, формула (1.8) ‑ при обратном направлении.

Приведение моментов инерции и масс элементов осуществляют исходя из равенства запаса кинетической энергии в реальной и эквивалентной расчетной схемах

,

откуда находим

, (1.9)

где J—приведенный к валу двигателя момент инерции элементов МПУ; J_Д ‑ момент инерции двигателя, муфты Ml и шестерни z₁ , J_б ‑ момент инерции шестерни z₂,, муфты М2 и барабана Б.

Обобщая полученный результат, заключаем, что для приведения момента инерции вращающегося элемента к валу двигателя следует разделить момент инерции на квадрат передаточного числа участка кинематической цепи между двигателем и этим элементом, а для приведения массы поступательно движущегося элемента следует умножить массу на квадрат радиуса приведения участка кинематической цепи между двигателем и этим элементом.

В результате выполнения приведения по указанным правилам расчетная схема имеет вид рис. 1.1, б. Отметим, что расчетная схема рис. 1.1, б в теории электропривода получила название одномассовой механической системы. Она соответствует механической части привода с абсолютно жесткими элементами и без зазоров.

Применительно к приведенной расчетной схеме рис. 1.1, б уравнение движения в векторной форме имеет вид

(1.10)

Для указанных на рис. 1.1, б направлений моментов двигателя и нагрузки, которые относятся к самому распространенному двигательному режиму работы электропривода, когда движение осуществляется под действием вращающего момента двигателя, а момент нагрузки противодействует движению, уравнение (1.10) в скалярной форме записывается как

(1.11)

Правую часть уравнений (1.10) и (1.11) называют динамическим моментом, т.е.

(1.12)

Основные положения данного параграфа, полученные для наиболее распространенных в настоящее время двигателей вращательного движения, полностью применимы и к двигателям поступательного движения.

Пример 1.1. Применительно к схеме рис. 1.1, а рассчитать значения J и M_c при подъеме груза. Дано: моменты инерции двигателя вместе с муфтой Ml и шестерней z₁ J_Д = 0,15 кгм², а барабана вместе с муфтой М2 и шестерней z₂ J_б = 1,8 кг-м²; передаточное число редуктора i_Р = z₂/z₁ = 86/14=6,14; КПД редуктора _P = 0,97 и барабана _б = 0,95;

скорости двигателя  = 93 рад/с и подъема груза υ_и,о = 0,1 м/с; масса груза вместе с крюком m = 850 кг.

Приведенный момент нагрузки M_С определяем по (1.5)

Н·м,

где g=9,81 м/с² ‑ ускорение силы тяжести.

Приведенный момент инерции Jнаходим по (1.9)

кгм².

При спуске груза приведенный момент нагрузки М_С должен быть рассчитан по (1.6), а момент инерции остается неизменным.