1.6. Неустановившееся движение электропривода при линейной зависимости моментов двигателя и исполнительного органа от скорости

Рассматриваемый вид движения является весьма распространенным. Он, в частности, характерен для переходных процессов в электроприводе с двигателем постоянного тока независимого возбуждения и частично для асинхронного электропривода.

Получение общих аналитических выражений для изменения скорости и момента двигателя во времени проведем с помощью рис. 1.10, где представлены линейные .механические характеристики двигателя Д и исполнительного органа ИО. Аналитически эти характеристики могут быть соответственно представлены как

(1.28)

где М_к.з и М_с0 — моменты двигателя и исполнительного органа при =0.

Рис. 1.10. Линейные механические характеристики двигателя и их исполнительного органа

Выражая в (1.11) иM_с. с помощью (1.28) через скорость, получаем

(1.29)

Поделив уравнение (1.29) почленно на, найдем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

(1.30)

где ‑ электромеханическая постоянная времени процесса, с;‑ установившаяся (конечная) скорость движения, соответствующая точке1 пересечения механических характеристик (рис. 1.10).

Решение (1.30) будем искать как сумму общего решения линейного однородного уравнения (свободной составляющей движения)

(1.31)

и частного решения неоднородного уравнения (1.30) (принужденной составляющей движения), т. е. в виде

(1.32)

Свободную составляющую движения в соответствии с уравнением (1.31) найдем в виде , где‑ некоторая константа,‑ корень характеристического уравнения

(1.33)

Из (1.33) находим корень характеристического уравнения, и для свободной составляющей имеем

(1.34)

Принужденная составляющая движения может быть получена, если в (1.30) положить . Выполнив это, найдем

(1.35)

С учетом (1.34) и (1.35) представим решение (1.30) в виде

(1.36)

Константу А находим по начальным условиям переходного процесса: при , откуда.

Окончательно для скорости получаем

(1.37)

Так как скорость и момент двигателя связаны линейной зависимостью [первое уравнение (1.28)], закон изменения момента в функции времени имеет вид, аналогичный (1.37),

(1.38)

Для нахождения зависимости угла поворота вала двигателя от скорости необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение , предварительно подставив в него найденную зависимость(t) из (1.37). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат

(1.39)

Полученные выражения (1.37) ‑ (1.39) могут использоваться для анализа переходных процессов различного вида ‑ пуска, реверса, торможения и т. д. Для пользования ими в каждом конкретном случае должна быть определена электромеханическая постоянная времени Т_м, а также начальные и конечные значения координат . В частном случае, когдаи, эти величины могут быть определены по формулам

(1.40)

Выражения (1.37) и (1.38) позволяют определить время изменения скорости или момента от какого-либо начального значения до значений; илиM_i

(1.41)

Электромеханическая постоянная времени , входящая в уравнения (1.37) ‑ (1.39), имеет определенное физическое содержание. Обратимся к рис. 1.11, на котором изображена идеализированная прямоугольная характеристика двигателя. Из (1.26) для определения времени разбега двигателя вхолостую до скорости₀ при иполучаем

.

Из полученного соотношения видно, что электромеханическая постоянная времени численно равна времени разбега двигателя вхолостую до скорости идеального холостого хода под действием момента короткого замыкания.

Если провести касательную к экспонентам (t) или M(t) в точке t=0, то отрезок, отсекаемый касательной на уровне установившегося значения _уст или M_уст, равен в масштабе времени постоянной времени Ти, как показано на рис. 1.12.

Электромеханическая постоянная времени экспоненциальных переходных процессов однозначно определяет их длительность. Теоретически время таких переходных процессов равно бесконечности. Практически за условное время окончания переходного процесса принимается время, за которое координата достигла 95 % установившегося значения или, другими словами, отличается от этого значения на 5 %. Это практическое время переходного процесса равно. Иногда за практическое время переходного процесса принимается время достижения координатой 98 % установившегося значения, которому соответствует время.

Полученные выражения (1.37)—(1.39) справедливы для непрерывных линейных механических характеристик двигателя и исполнительного органа. Если же одна из них имеет разрыв, как, например, характеристика момента трения, то переходный процесс рассчитывается по участкам, при этом конечные значения координат на предыдущем участке равны начальным значениям на следующем участке.

Пример 1.3. Построить зависимости (t) и M(t) при пуске двигателя, имеющего линейную механическую характеристику (M), при следующих исходных данных скорость идеального холостого хода двигателя ₀=157 рад/с, момент короткого замыкания =100 Нм, приведенный момент инерции =0,15 кг-м²; момент нагрузки М_с неизменен и равен 50 Нм. Механическая характеристика двигателя (M) соответствует рис. 1.10

1. Вначале определим электромеханическую постоянную Для рассматриваемого примера в соответствии с(I 40)

2 Найдем начальные и конечные значения переменных:; Нм; рад/с, Нм.

3 Выражения для скорости и момента в соответствии с (1.37) и (1.38) принимают вид

.

В соответствии с этими уравнениями на рис. 1 12 построены искомые кривые (t) и M(t), представляющие собой экспоненты.