- •Лабораторная работа № 1 первичная обработка результатов прямых многократных измерений /вычисление основных статистических параметров/
- •1. Цель работы
- •2. Задание
- •3. Краткая теория
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 проверка нормальности закона распределения /тремя различными методами/
- •1. Цель работы
- •2. Задание
- •3. Краткая теория
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 6 построение линейной эмпирической зависимости по опытным данным /метод наименьших квадратов/
- •1. Цель работы
- •2. Задание
- •3. Краткая теория
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 7 оценка связи номинальных признаков /таблицы сопряженности/
- •1. Цель работы
- •2. Задание
- •3. Краткая теория
- •4. Ход работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Приложение 1 Установка надстройки "Пакет анализа"
- •Приложение 2 Виды ошибок при задании формул
- •Приложение 3 Кратка теория диаграмм
- •Приложение 4 Статистические таблицы
- •Список литературы
- •Оглавление
4. Ход работы
Метод линеаризации интегральной функции распределения
В книге лабораторных работ по математической статистике Листу3 присвойте оригинальное имя, например, «Проверка нормальности».
Для проверки закона распределения методом линеаризации постройте данные в виде табл. 3.1.
Таблица 3.1
Номер точки вариационного ряда, i |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Получите xi~N(5,1) – выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1 (для этого выполните шаги п.2, лабораторной работы № 1). Можно использовать данные, полученные в указанной лабораторной работе, выполнив ссылку на соответствующий лист.
Постройте вариационный ряд, упорядочив полученные значения по неубыванию. Результат поместите в столбец 2 табл. 3.1.
Вычислите значения эмпирической функции распределения вероятностей Fn(хi) = , где i – номер точки в упорядоченной выборке (столбец 3 таблицы 3.1).
Для вычисления значений функции в отдельной ячейке подсчитайте количество элементов выборки, используя функциюСЧЁТ(D4:D28). Диапазон D4:D28 содержит значения вариационного ряда хi.
Постройте вспомогательный столбец номеров iточек вариационного ряда. Для этого в строке, соответствующей первому значению вариационного ряда, запишем 1. Удерживая клавишуCTRL, выполним автоматическое заполнение ячеек столбца номеров. При заполненииExcelуказывает текущее значение номера (столбец 1 табл. 3.1).
Найдите теоретические значения аргумента, соответствующие значениям, полученным в опыте для эмпирической функции Fn(xi), где– функция обратного нормального распределения. Для этого используйте функциюExcelНОРМСТОБР(), аргументом которой является значение функцииFn(Zi) (столбец 4 табл. 3.1).
Рис. 3.1. График точек с прямой
Постройте график точек, используя мастер диаграмм (рис. 3.1).Для точек функции добавьте линию тренда (одноименная функция контекстного меню рядов данных) (рис. 3.1). Изменяя параметры линейной аппроксимации, добейтесь наилучшего приближения прямой к точкам, не учитывая при этом по 1–2 крайние точки с каждой стороны. Это можно сделать, установив значение точки пересечения кривой с осьюYв диалоговом окне «Формат линии тренда», вкладка «Параметры».
Вычислите по графику приближенные значения среднего арифметического (точка пересечения прямой тренда с осью абсцисс) и оценки СКО. Близость графических оценок к вычисленным значениями(см. работу № 1) является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.
Применение модифицированного критерия Колмогорова
Используя упорядоченные массивы хi~N(5,1) иFn(хi) = , вычислите значения функции распределения вероятностейF(хi, ,):
Вычислите значения оценки СКО и среднего арифметического для исходной выборки в отдельных ячейках, используя стандартные статистические функции (см. работу № 1).
ziдля распределения, характеризуемого средним и стандартным отклонением по формуле (3.2).
Значения функции распределения вероятностей Fвычислите с помощью функцииНОРМРАСП(x;среднее;СКО;1), которая возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и СКО. Последний аргумент определяет вид функции: 1 означает, что функцияНОРМРАСПвозвращает интегральную функцию распределения; 0 –возвращается функция плотности распределения. Уравнение для плотности нормального распределения имеет вид:
.
Вычислите абсолютные значения отклонений эмпирической функции распределения от теоретической в отдельном столбце (диапазон N4:N28) и найдите максимальное из них(3.3), используя функциюМАКС(N4:N28).
Вычислите для выбранного уровня значимостиприближенным выражением
.
Наконец найдите значение модифицированного критерия Колмогорова (3.5). Если выполняется условие гипотеза о нормальности отвергается, в противном случае гипотеза принимается.
Использование критерия согласия
Для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона постройте данные в виде табл. 3.2.
Таблица 3.2
Номер инт-ла |
Границы инт-лов |
Число значений в инт-ле |
Нормиров. граница инт-ла |
Теор. вероятность | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Заполните столбец 1, автоматическим заполнением ячеек.
В ячейки столбца 2 внесите ссылки на ячейки столбца значений границ интервалов, расположенных на листе построения гистограммы относительных частот. Число значений в интервале равно соответствующей частоте попадания значений вариационного ряда в интервал1.
Вычислите значения теоретической вероятности (столбец 5):
Вычислите для каждой границы интервала ее нормированное значение по формуле (3.2). Для этого воспользуйтесь функциейНОРМАЛИЗАЦИЯ(х;среднее;СКО) (столбец 4 табл. 3.2).
Используя полученные значения в качестве аргумента, вычислите теоретическую интегральную функцию нормированного нормального распределения . ФункцияExcelНОРМРАСП.Значения аргументов: среднего = 0, оценка СКО = 1, так как значения границ уже нормированы.
Далее по формуле (3.8) вычислите значения теоретической вероятности .
Заполните столбец 6, предварительно вычислив объем выборки (функцияСЧЕТ). Для контроля правильности вычислений выполните суммирование значений ячеек столбца 6 – результат должен быть немного меньше 1 (см. раздел 3, п. «Построение гистограммы» лабораторной работы № 2).
Постройте график зависимости от значений середин интервалов. Результатом является теоретическая кривая нормального распределения. Сравните с графиком гистограммы, полученной в работе № 2.
Отдельно вычислите значение статистики критерия согласия Пирсона по формуле (3.7), предварительно заполнив ячейки столбца 7. Вычисленное значение сравнивается с табличным (критическим) при выбранном одностороннем уровне значимости. Если, то гипотеза о виде распределения принимается. Критическое значение статистики критерия можно вычислить с помощью функцииХИ2РАСП(x;степени_свободы), которая возвращает одностороннюю вероятность распределения . х – это значение, для которого требуется вычислить распределение. В нашем случае это значение статистики критерия согласия Пирсона, вычисленное по формуле (3.7). Степени_свободы – это число степеней свободы.
Для вычисления уровня значимости наблюденного значения статистики , т.е. такого значения, при котором значение критерия становится критическим, можно воспользоваться методом интерполяции табличных значений-распределения или приближенным выражением [6]:
,
где .
Решите обе задачи использования критерия Пирсона: п.6 и п.7. Сравните результаты вычислений.