B8-2014

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

5.3.2.(323287) На			рисунке		изображён график некоторой функции y f (x). Функция
F(x)	2	x3 20x2	201x	6	– одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь
3			7

закрашенной фигуры.

5.3.3.(323373) На рисунке		изображён график некоторой функции y f (x). Функция
F(x) 2x3 54x2 488x	3	– одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь
4
закрашенной фигуры.

25.12.2013. www.alexlarin.net

51

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

***

5.4.1.(прототип 323080) На рисунке изображён график некоторой функции y f (x).

Функция F(x) x3 27x2 240x 8 – одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

5.4.2.(323389)			На рисунке изображён график некоторой функции								y f (x). Функция
F(x)	11	x3		33	x2		297	x	1	– одна из первообразных функции	f (x). Найдите пло-
30			4			5		2

щадь закрашенной фигуры.

5.4.3.(323473)			На рисунке						изображён график некоторой функции y f (x). Функция
F(x)	1	x3		9	x2		81	x	5	– одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь
									2
10			4			5

закрашенной фигуры.

25.12.2013. www.alexlarin.net

52

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

6. Дополнительные задачи

1.	Найдите угловой коэффициент касательной,	проведенной	к		графику			функции
f (x) 2 x2 3x4 в его точке с абсциссой x0 1.
2.	К графику функции f (x) 2x2 5x 17 в точке с абсциссой		x			3	проведена ка-
				0
сательная. Найдите тангенс угла наклона касательной к оси Ох.					4
3.	Найдите угловой коэффициент касательной,	проведенной	к		графику			функции
f (x) 10sin x 22x в точке с абсциссой x0 .
4.	Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y 4x2							6x 1 в
точке A1; 1 .
5.	Касательная, проведенная к графику функции	y f (x) в точке с абсциссой							х 2,
имеет вид 2у 3х 1 0. Найдите у (2).
6. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а.								Укажите
функцию, производная которой в точке а равна 1.

y

yy=f(x)y=g(x)

1a-101x

1)

y y=h(x)

01-11ax

3)

01a-11x

2)

y

-1 11

-10ax

y=p(x)

4)

7. Функция y f (x) определена на промежутке 4;5 . На рисунке изображен график ее производной.

y

y = f (x)

1

0

1

x

25.12.2013. www.alexlarin.net

53

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

а) Найдите число касательных к графику функции y f (x), которые наклонены под уг-

лом в 45 к положительному направлению оси абсцисс.

б) Найдите наименьшее значение, которое принимает тангенс угла наклона касательной к графику функции y f (x).

в) Найдите количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 120 к положительному направлению оси абсцисс.

г) К графику функции	y f (x) проведена касательная в точке с абсциссой	х0 3.
Определите градусную меру угла наклона касательной.
8. Функция y f (x)	определена на промежутке 3;7 . График ее производной изоб-

ражен на рисунке.

y

y=f (x)

1

1 x

0

а) Укажите количество промежутков, на которых функция возрастает. б) Укажите количество промежутков, на которых функция убывает.

в) Укажите количество точек минимума функции	y f (x)	на промежутке 3;7 .
г) Укажите количество точек максимума функции	y f (x)	на промежутке 3;7 .
д) Укажите количество промежутков, на которых функция
		у f (x) положительна.

9.Функция y f (x) определена на промежутке 3;7 . На рисунке изображен график

еепроизводной. Найдите точку x0 , в которой функция y f (x) принимает наибольшее значение.

у

у = f (x)

1

1 7

–3

0

х

10.	Найдите длину промежутка возрастания функции	f (x)	1	x3 4x2	15x.
		3
11.	На рисунке представлен график функции f (x) x4	x3 bx c. Определите знаки
коэффициентов b и с.
25.12.2013. www.alexlarin.net					54

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

12. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к этому графику в точке x0 . Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y 2 f (x) 1 в точке x0 .

13. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к этому графику в точке x0 . Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функ-

ции y	1	f (x) 5 в точке x .
4		0

14. Функция y f (x) определена на интервале ( 6;5). На рисунке изображен график производной функции. Найдите наибольшее и наименьшее значение углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (x).

25.12.2013. www.alexlarin.net

55

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

15. На рисунке изображён график функции y f (x) и девять точек на оси абсцисс:

x1,x2,x3,...,x9 . Сколько из этих точек являются решениями неравенства f '(x) 0?

16. Материальная точка М начинает движение от точки А и движется по прямой на протяжении 10 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат - расстояние S в метрах.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

17. Функция y f (x) определена на интервале ( 5;6). На рисунке изображен график

функции y f (x). Найдите среди точек x1,x2,x3,...,x7 те точки, в которых производная функции f (x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

25.12.2013. www.alexlarin.net

56

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

18. На рисунке изображен график функции y f (x). Прямая, проходящая через точку ( 1;1), касается этого графика в точке с абсциссой 3. Найдите f '(3).

19. На рисунке изображен график функции y f (x). Прямая, проходящая через точку ( 6; 1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите f '(6).

20. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой –1. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 1.

25.12.2013. www.alexlarin.net

57

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

21. На рисунке изображен график функции y f (x). Найдите наибольшее значение функции f (x) на отрезке [ 1;8].

22. На рисунке изображен график функции y f (x). Найдите наименьшее значение функции f (x) на отрезке [ 7;0].

23. На рисунке изображён график первообразной y F(x) функции f (x) и 8 точек на оси абсцисс: x1,x2,x3,...,x8 . В скольких из этих точек функция f (x) положительна?

25.12.2013. www.alexlarin.net

58

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

24. На рисунке изображён график первообразной y F(x) функции f (x) и 11 точек на оси абсцисс: x1,x2,x3,...,x11 . В скольких из этих точек функция f (x) отрицательна?

25. На рисунке изображён график первообразной y F(x) функции f (x) и отмечены точки –2, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение функции f (x) наименьшее? В ответе укажите эту точку.

25.12.2013. www.alexlarin.net

59

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

26. На рисунке изображён график первообразной y F(x) функции f (x) и отмечены точки –2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение функции f (x) наибольшее? В ответе укажите эту точку.

27. Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y f (x). Найдите f (1).

28. На рисунке изображён график функции y f (x), одна из первообразных которой

имеет вид F(x) x3 x2 3x 17. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 6 2 2

29. На рисунке изображён график некоторой функции y f (x). Одна из первообраз-

ных этой функции имеет вид F(x) 1 x3 x2 2x 3. Найдите площадь заштрихованной

3

фигуры.

25.12.2013. www.alexlarin.net

60