B8-2014

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

4.10.1. Решение. Функция имеет точку минимума, если в этой точке производная данной функции равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный. На отрезке13;1 имеется единственная точка минимума xmin 5.

Ответ: 1.

Наибольшее и наименьшее значения функции

4.11.1. Решение. На отрезке 3;2 производная функции неположительна, следовательно,

сама функция на этом отрезке убывает и принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, в точке –3.

Ответ: –3.

4.12.1. Решение. На отрезке 7; 3 производная функции положительна, следовательно, сама функция на этом отрезке возрастает и принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, в точке –7.

Ответ: –7.

Касательная к графику функции

4.13.1. Решение. Угловой коэффициент прямой y 2x 2 равен 2. Касательная параллельна данной прямой, поэтому ее угловой коэффициент равен 2. Используя формулу f (x0 ) k , имеем f (x0) 2. По графику производной функции получаем значение x0 5.

25.12.2013. www.alexlarin.net

71

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

Ответ: 5.

4.14.1. Решение. Угловой коэффициент касательной, параллельной оси абсцисс, равен 0. Используя формулу f (x0 ) k , имеем f (x0) 0. По графику производной функции по-

лучаем значение x0 3.

Ответ: –3.

4.15.1. Решение. Угловой коэффициент прямой y 2x 11 равен –2. Касательная параллельна данной прямой, поэтому ее угловой коэффициент равен –2. Используя формулу f (x0 ) k , имеем f (x0) 2. По графику производной функции получаем, что произ-

водная принимает значение, равное –2, в пяти точках.

Ответ: 5.

5.Первообразная функции

5.1.1.Решение. Так как f (x) F (x), равенство f (x) 0 будет выполнено в точках экс-

тремума функции y F(x). На отрезке 2;4 таких точек 10.

25.12.2013. www.alexlarin.net

72

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

Ответ: 10.

5.2.1. Решение. Значение F(8) F(2) равно площади трапеции, ограниченной графиком функции и прямымиx 2,x 8, y 0. Площадь этой трапеции с основаниями 6 и 1 и вы-

сотой 2 считаем по стандартной формуле S 6 1 2 7. 2

Ответ: 7.

5.3.1. Решение. 1-й способ. Воспользуемся формулой S F(b) F(a) . Тогда имеем

S F( 9) F( 11) ( 9)	3		2	15				3		2		15
		30( 9)		302( 9)			( 11)		30( 11)		302( 11)
												8
				8

729 1331 30(81 121) 302( 9 11) 602 1200 604 6.

2-й способ. Воспользуемся схемой Горнера для вычисления F( 9) и															F( 11).
				1					30		302					–15/8
–9				1					21		113					–1017–15/8
–11				1					19				93			–1023–15/8
		15			15
Тогда S 1017				1023			6.
		8			8
									9
3-й способ. Площадь закрашенной фигуры S f (x)dx, где
									11
			f					2	60x 302 3 x 10				2	2.
				(x) F (x) 3x
				9
Найдем эту площадь S 3 x 10 2 2 dx
				11
Заменим переменную интегрирования. Пусть x 10 t ,												x t 10,			dx dt, тогда t 1
при x 11 и t 1		при x 9. Формула для вычисления площади примет вид
		1			1
S 3t2 2 dt 2 3t2 2 dt 2 t3 2t												1
												0 2 1 2 6.
Ответ: 6.		1			0
5.4.1. Решение. 1-й способ. Воспользуемся формулой S F(b) F(a) . Тогда имеем
S F( 8) F( 10) ( 8)3 27( 8)2 240( 8) 8 ( 10)3 27( 10)2 240( 10) 8
25.12.2013. www.alexlarin.net															73

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

512 1000 27(64 100) 240( 8 10) 488 972 480 4.

2-й способ. Воспользуемся схемой Горнера для вычисления F( 8)				и F( 10).
	–1	–27	–240		–8
–8	–1	–19	–88		696
–10	–1	–17	–70		692

Тогда S 696 692 4.

8

3-й способ. Площадь закрашенной фигуры S					f (x)dx , где
				10
		(x) 3x	2	54x 240 3 x		9		2	3.
	f (x) F
	8
Найдем эту площадь S 3 x 9 2 3 dx.
	10
Заменим переменную интегрирования. Пусть					x 9 t ,	x t 9,				dx dt,	тогда t 1
при x 10	и t 1 при x 8. Формула для вычисления площади примет вид
	1	1
	S 3t2 3 dt 2 3t2 3 dt 2 t3 3t						1
							0 2 1 3 4.
	1	0

Ответ: 4.

25.12.2013. www.alexlarin.net

74

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

Ответы

1. Геометрический смысл производной

***

1.1.1. 0,5. 1.1.2. -4. 1.1.3. -4.

***

1.2.1. –1. 1.2.2. 0. 1.2.3. –1.

***

1.3.1. 0,125. 1.3.2. 15. 1.3.3. 24.

***

1.4.1. –33. 1.4.2. 21. 1.4.3. 21.

***

1.5.1.7. 1.5.2. 17. 1.5.3. 18.

2.Физический (механический) смысл производной

***

2.1.1. 60. 2.1.2. 6. 2.1.3. 4.

***

2.2.1. 20. 2.2.2. 51. 2.2.3. 24.

***

2.3.1. 59. 2.3.2. 55. 2.3.3. 60.

***

2.4.1. 8. 2.4.2. 3. 2.4.3. 8.

***

2.5.1. 7. 2.5.2. 1. 2.5.3. 14.

3. График функции

Промежутки монотонности функции

***

3.1.1. 4. 3.1.2. 6. 3.1.3. 3.

***

3.2.1. 8. 3.2.2. 3. 3.2.3. 6.

***

3.3.1. 5. 3.3.2. 4. 3.3.3. 5.

***

3.4.1. 7. 3.4.2. 4. 3.4.3. 6.

***

3.5.1. –2. 3.5.2. –2. 3.5.3. 2.

***

3.6.1. 4. 3.6.2. 1. 3.6.3. 2.

Точки экстремума функции

***

3.7.1. 44. 3.7.2. 0. 3.7.3. 12. 25.12.2013. www.alexlarin.net

***

3.8.1. 4. 3.8.2. 4. 3.8.3. 8.

Касательная к графику функции

***

3.9.1. 4. 3.9.2. 6. 3.9.3. 8.

***

3.10.1. 1,25. 3.10.2. –0,6.

***

3.11.1. 2. 3.11.2. 1. 3.11.3. 1,75.

***

3.12.1. 0,25. 3.12.2. 0,25. 3.12.3. 0,25.

***

3.13.1. –2. 3.13.2. –1,75. 3.13.3. –1,25.

***

3.14.1. –0,25. 3.14.2. –0,25. 3.14.3. –0,25.

4. График производной функции

Промежутки монотонности функции

***

4.1.1. 6. 4.1.2. 5. 4.1.3. 3.

***

4.2.1. 6. 4.2.2. 6. 4.2.3. 5.

***

4.3.1. –3. 4.3.2. 9. 4.3.3. –19.

***

4.4.1. 18. 4.4.2. –17. 4.4.3. 5.

***

4.5.1. 3. 4.5.2. 2. 4.5.3. 2.

***

4.6.1. 5. 4.6.2. 2. 4.6.3. 7.

Точки экстремума функции

***

4.7.1. 5. 4.7.2. 3. 4.7.3. 4.

***

4.8.1. 4. 4.8.2. –3. 4.8.3. –2.

***

4.9.1. 1. 4.9.2. 1. 4.9.3. 3.

***

4.10.1. 1. 4.10.2. 2. 4.10.3. 1.

Наибольшее и наименьшее значения функции

***

4.11.1. –3. 4.11.2. –2. 4.11.3. –5.

75

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

***

4.12.1. –7. 4.12.2. –1. 4.12.3. –5.

Касательная к графику функции

***

4.13.1. 5. 4.13.2. 5.

***

4.14.1. –3.

***

4.15.1. 5. 4.15.2. 3. 4.15.3. 5.

Серия задач на одном графике

***

4.16.1. –4. 4.16.2. 1. 4.16.3. 4. 4.16.4. 2. 4.16.5. –2.

***

4.17.1. –5. 4.17.2. 5. 4.17.3. 2. 4.17.4. 4. 4.17.5. 12.

***

4.18.1. –4. 4.18.2. 3. 4.18.3. –10. 4.18.4. 3. 4.18.5. 4.

5. Первообразная функции

***

5.1.1. 10. 5.1.2. 10. 5.1.3. 8.

***

5.2.1. 7. 5.2.2. 3. 5.2.3. 20.

***

5.3.1. 6. 5.3.2. 9. 5.3.3. 8.

***

5.4.1. 4. 5.4.2. 4,95. 5.4.3. 1,35.

6.Дополнительные задачи

1.–10. 2. 2. 3. 12. 4. 2. 5. –1,5. 6. y h(x).

7.а) 3. б) –3. в) 2. г) 45 . 8. а) 3. б) 3. в) 2.

г) 3. д) 4. 9. 1. 10. 2. 11. c 0; b 0. 12. 3.

13. 0,5. 14. 3 и –4. 15. 4. 16. 6. 17. 3. 18.0,5. 19. 0,25. 20. 0. 21. 6. 22. –3. 23. 4. 24. 3. 25. 2. 26. –1. 27. –1. 28. 13,5. 29. 6.

30. 13,5. 31. 16.

Список и источники литературы

1.Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений,– 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 395 с.: ил.

2.ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С) / И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, B.C. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семенов, A.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.

–215, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания») ISBN 978-5-377-06990-4

3.ЕГЭ-20014. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко – М.: Издательство «Национальное образование», 2013. – 192 с. – (ЕГЭ-2014. ФИПИ – школе).

4.Ященко И. В., Захаров П. И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 5-е изд., исправл. – М.: МЦНМО, 2014. – 96 с.

5.www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).

6.www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

7.http://eek.diary.ru/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.

8.http://reshuege.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».

25.12.2013. www.alexlarin.net

76