Аппроксимация функции

Т.е. любому х из области определения поставлено значение у. На практике часто не известна явная связь между х и у. Рассмотрим случай, когда х и у заданы в виде таблицы. Т.е. дискретному множеству значения аргумента х поставлено в соответствие множество значений функции у.{x_i,y_i} i=0,1,..,n. Эти значения либо результаты эксперимента, либо результаты точечных расчетов. Нам могут понадобится значения величины у в других точках, отличных от узлов х_i. Приходим к необходимости использовании табличных данных для приближенного вычисления искомого у при любом х. для решения такой задачи и существует задача о приближении. Т.е. аппроксимация функции.

Данную функцию f(x) требуется приближенно аппроксимировать (заменить) некоторой функцией φ(х) чтобы отклонение в некотором смысле φ(х) f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(х) называется аппроксимирующей для практики многочленом.

φ(х)=a₀+a₁x¹+a₂*x²+..+a_mx^m (1)

Используя такой вид φ(х) будем для многочлена находить коэффициенты aj таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от заданной функции. Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек х,у то аппроксимация называется точечной. Но при построении приближении на непрерывном множеством точек, аппроксимация называется непрерывной, или интегральной.

Точечная аппроксимация

Один из основных типов точечных аппроксимаций это интерполяция. Интерполяция состоит в следующем. Для данной функции y=f(x) встроен многочлен 1 принимающий на заданных точках х,у те же значения, что и исходная функция от х. у_i=φ(x_i). Только для интерполяции есть точное совпадение функции в узлах! При этом имеем ввиду, что среди значений нет совпадающих.(точки не повторяются). Х,у называются узлами интерполяции, а многочлен φ(х) интерполяционный многочлен. Если максимальная степень интерполяционного члена m=n, то говорят о глобальной интерполяции. Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных чисел рассматриваемого интервала изменения х. Тогда имеем кусочную или локальную интерполяцию.

y_i=φ(x_i) i=0,1..n 2

При решении системы уравнений 2 получаем значения неизвестных коэффициентов aj. Если нет совпадающих точек система 2 имеет единственное решение. Если точка х в которой нужно спрогнозировать лежит вне отрезка интерполирования, то процесс приближения называется экстраполяцией.

Основное условие интерполяции: прохождение интерполяционного многочлена через данных значения функции в узлах интерполирования.

В ряде случаев нецелесообразно повторять ошибки эксперимента в аппроксимирующей функции. Т.е. необходимо найти такой многочлен, график которого проходит «близко» от заданных точек. «близко» уточняется в каждом методе приближения. Один из видов среднеквадратичными приближении функции многочлена. Мерой отклонения многочлена φ(х) от заданной функции f(x) {x_i,y_i} i=0,1,..,n при среднеквадратичного приближении является величина S. S=требуется подобрать многочлены1 таким образом, чтобы S была минимальной . В этом состоит метод наименьших квадратов.

Равномерное приближение. Часто среднеквадратичное отклонение приемлемо. Но иногда ставится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка а,b отклонения многочлена φ(х) было бы по абсолютной величине меньше заданного ε. тогда говорят что многочлен φ(х) равномерно аппроксимируетf(x) с точностью ε на отрезке аb. В этом методе вводит абсолютное отклонение дельта многочлена φ(х) максимуму абсолютной величины разности между ними на данном отрезкеСредне квадратичное отклонение

Теорема Вейерштрасса о апп. Если функция f(x) непрерывна, то для любого ε меньше 0 существует многочлен степени, зависящей от эбс. m, отклонение которого равно меньше ε. M=m(ε).

Многочлен наилучшего равномерного приближения, если коэффициент aj выбраны таким образом, что на заданном отрезке аb величина абсолютного отклонения минимальна.