- •Точность вычислительного эксперимента Источники и классификация погрешности
- •Устойчивость, корректность, сходимость
- •Аппроксимация функции
- •Точечная аппроксимация
- •Вычисление многочленов по схеме Горнера
- •Интерполяция Линейная и квадратичная интерполяция в явном виде.
- •Неявная интерполяция
- •Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.
- •Численное интегрирование
- •Методы численного интегрирования.
- •Метод Симпсона
- •Итерационные методы решений линейной системы
- •Численное дифференцирование
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Решение нелинейных уравнений
- •1. Метод делений отрезка по палам или метод бисекции
- •2. Метод хорд или секущих
- •3. Метод касательных (Ньютона)
- •4. Метод простой итерации
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Одношаговые методы
Итерационные методы решений линейной системы
X1(0)=xl(0) =…=xn(0) =0
Возьмем нулевое приближение в качестве начального, подставим его в 1 уравнение и вычистим x1 первого приближения.
Найденное текущее приближение является ? с точностью эбселент. Если для одного х не выполнился критерий, продолжаем итерационный процесс.
Рассмотрим систему из n уравнений с m неизвестными, диагональные подвергаются проверки на не 0 или на 0 с помощью алгоритма поиска ненулевого элемента, тогда к решение приближения будет задаваться формулой.
Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока xi(k) не станут достаточно близки к xi(k-1). Достаточно близки определяется либо абсолютным, либо относительным критериям.
Max.. – абсолютный
Max - относительный критерий
При выполнении 1 или 2 итерационный процесс называется сходящимся. Метод гаусса может разойтись.
Достаточное условие сходимости метода.
Для с хит процесса достаточно |aii|>= sum |aij| i=1 to n
Система линейных уравнений должна быть не приводима (та которую можно решить меньшим числом уравнений с меньшим числом неизвестных).
Хотя бы в 0 уравнении должно быть строго больше >.
W Блок
схема метода Гаусса-Зейделя
Численное дифференцирование
Аппроксимация(приближенное значение) производных.
Метод конечных разностей предполагает, что бесконечное малое дельта у и дельта х являются конечные.
?.
Y’=∆y/ ∆х
Это называется аппроксимацией производных относительно дельта у и дельта х.
Пусть шаг постоянный
Вторые производные вычисляются на основании первых.
Погрешность численного дифференцирования
В качестве f(x) можно принять частичную или итерационную функцию.
В качестве приближенного значения производной порядка к φ(х).
Величина R характеризует отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения и называется погрешностью аппроксимации производной.
R(k)(x)=f(k)(x)-φ(k)(x)
При исследовании дифференцируемой функции задается в виде таблицы с h эта погрешность зависит от h и обозначается O(hk). Показатель к названным порядкам погрешности аппроксимирующей производной ({xi,y}, h=xi-xi+ ?)
Иллюстрация погрешности с помощью ряда Тейлора.
Запишем ряд при х=х1 , ∆х=-h с точностью до членов порядка h (k=2)
Формула совпадает с производной левых разностей. Имеем оценку формулы, точность порядка h
Погрешность возникаем при использовании дифференцирования определяя не точными значениями в узлах и погрешности округления на нем. Существует процедура регуляции для оптимизации точности. Простейшим способом регуляризации мб выбор шага h при котором справедливо неравенство |f(x+h)-f(x)|>ε
Гарантирует исключение вычитания близких чисел в вычислении.
Другой способ сглаживания функции подбором некоторой гладкой аппроксимации функции.
Метод неопределенных коэффициентов.
Искомое выражение для производной к порядка в точках x=x1ю Представляем в виде линейной комбинации заданных значений функций в узлах
Yi(k)=C0*y0+C1*y1+…+Cnyn (*)
Предположим, что формула (*) имеет место для многочленов y=1, y=x-xi, y=(x-x1)2… y=(x-xi)n
Подставим последние многочлены в (*) получим n+1 линейное алгебраическое уравнение для определения C0,C1,Cn
Пример. Найти выражение для производной в случае 4 равноотст. узлов n=3