Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

При различных значения производных ? получается семейство кривых. Все они удовлетворяет сходному уравнения. Если в дополнении дифференцированному уравнению задать значение функции y в некоторой точке x то можем явно определить значение а.

Уравнение 2-го порядка

Такое уравнение легко представить в виде системы двух(4-го порядка, 4 уравнения и тд) 5-5) уравнений 1-го порядка.

Решение такой системы (2-го нашу) должно дать и функцию и первую производную.

Основные понятия: В зависимости от числа независимых переменных делится на 2 категории.

Если удается выразить старшую производную явно из уравнения, то такое уравнение называем разрешенной относительно старшей производной.

Линейное y’=x^2y=sinx

Общее решение диф уравнение содержит n произвольных постоянных. y=f(x,c1,c2,..,cn) Частое решение получается из общего, если придать определенное значение. Это можно сделать за счет дополнительных условий.

В зависимости от способа заданий дополнительных условий существует 2 различных типа задач. Задача коши и краевая задача. В любом случае в качестве доп условий задаются значение искомой функции (если выше порядок) ее производное, при некоторых значений независимой переменной. Если задается 1 точка, о это задача коши (начальные условия). Краевая задача. Условие в ней называется граничные.

Задача коши: требуется найти функция У=У(х) удовлетворяющему уравнению (1))dY/dx=f(x,Y) в точке x=x0 в заданном значении Y(x0)=Y0 !При этом будем для определенности считать, что решение нужно получить при x>x0 ! Для решении задачи Коши будем использовать разностные методы

Сеточная функция: Введем последовательность точек x0,x1,… и шаги Hi=Xi+1-Xi , и i изменяется от 0.

В каждой точке xi вместо значении функции вводятся числа аппроксимирующей точное решение функции Y на данном множестве точек. Функцию y заданной в виде таблицы назовем сеточной функцией, далее заменяем значение производной в уравнение (1)) отношения конечных разностей осуществляем переход от дифф задачи 1,2 относительно функции Y к разности задачи y. (3)) yi+1=F(x0,h,yi+1,yi,yi-1,yi-2,…,yi-k+1) i=1,2… y0=Y0

3 написана в общем виде а конкретное выражение в правой части зависит от способа аппроксимации производной и конкретного численного метода свой вид выражения 3.

Приведем некоторую классификацию численных методов решения задачи коши для о.д.у. Первое правило – если в правой части 3 отсутствует yi+1 то есть yi+1 явно выражена, и вычисляется явно по k предыдущим шагам. То разностная схема будет называться явно, метод будет называться k шаговый.

Одношаговые методы

Метод эйлера – простейший численный метод решения задачи Коши. Основан на разложении искомой функции в ряд тейлора. В окрестностях узлов x=xi. I=0,1…. В ряде тейлора отбрасываются содержащие производные 2-го и более высоких порядков.

Заменим значение функции Y в узлах xi в значении сеточной функции yi. Кроме того используем постановку задачи Коши. Требуется найти Y(х) ?.

Полагая i=0 найдем ? в точке x1 y1=y0+h*f(xo,y0) нулевую точку берем из задачи коши. Далее на базе первой находим 2ю и тд. Решение по методу Эйлера получаем на заданном отрезке в виде сеточной функции.

По мере движения по отрезку погрешность накапливается. К концу сетки оно будет равно n*o(h^2).

Метод Эйлера с пересчетом.

Значение f(x,y) возьмем равным среднему арифметическому между f(xi,yi), f(xi+1,yi+1)

Применяется один из итерационных. Если имеется хорошее начальное приближение, то можно построить решение с использованием 2х итераций следующим образом : считаю yi начальным приближении, вычисляем первое приближение по классической формуле Эйлера. Новое значениеyi+1 с волной подставляем ?

? в нем отбрасываем слагаемые, начиная от h^2.

Для второй производной применяем аппроксимация по отношению к конечным разностям.

Первую производную заменяем отношениями конечных разностей (через функции) .

Для метода Эйлера с пересчетом вводят автоматический выбор шага в каждом узле, если величина Если не так, то шаг уменьшаем, и в этой же точке производим расчет.