Решение нелинейных уравнений

Метод делится на прямые и итерационные.

Прямой позволяет записывать корни в виде некоторого конечного соотношения. На практике если не позволяет воспользоваться прямыми, тогда используем итерационный – методы последней приближений. Алгоритм нахождения корня итерационным методом состоит из 2х этапов: 1) Нахождении приближенного значения корня или сод его отрезка. 2) Уточнение приближении значения до некоторой заданной степени точности (ε)

Приближение значения корня может быть найдено разными способами( или физических размышлений, из расширенных различных задач; с помощью графического метода)

Если априорные оценки провести не удается то находят 2 близко расположенные точки a и b, в котором непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков F(a)*F(b)<0. В этом случае между а и b есть хотя бы 1 корень. Тогда в качестве начального приближения, можно взять координату середины x0=(a+b)/2

Итерационный процесс далее состоит в последовательном приближении х0. В результате приведенных итераций находим х0,х1…хn

Если значения с ростом и приближении к значению n, то процесс сходится.

1. Метод делений отрезка по палам или метод бисекции

Базируется на начальном отрезке F(x)=0

Далее исследует функции полученных на концах двух отрезков

Медленный, но всегда сходится с заданой точностью ε

2. Метод хорд или секущих

Пусть мы нашли отрезок а,в на которой функция меняет знак

F(a)>0 F(b)<0

В данном методе в качестве приближения к корню применяющий значение C0,C1… это значение точек пересечения хорды с осью абсцисс (х=С0, у=0).

Сравнивая знаки функций F(a), F(C0), F(b) и отбрасываем ту часть отрезка, где функция не меняет знак.

Затем ищем новое приближение С1, если b=C0

В общем случае

Продолжаем до тех пор, пока |F(ci)|≤ε

Метод всегда сходится и часто быстрее, чем бисекция

3. Метод касательных (Ньютона)

Опираемся на точку начального приближения

Запишем уравнение касательной и кривой в точке M0

Производная в точке очередного приближения должна быть отличной от 0. Сложность метода состоит в выборе, который надо выбрать, чтобы метод сошелся. Часть используется комбинация методов.

4. Метод простой итерации

Для исполнения этого метода исходное нелинейное уравнение F(x)=0 записываем в виде х=φ(х) (1) X=cosx=0 x=-cosx x=arccos(x)

Пусть известно начальное приближение корня C0. Подставляя его в правую часть уравнения (1) получим следующее приближение C1=φ(C0) …. Cn+1=φ(Cn) Прекращаем тогда, когда выполнено |Cn+1-Cn|≤ε |F(Cn+1)|≤ε Метод может разойтись.

Достаточное условие сходимости |f’(Cn)|<1

Решение систем нелинейных уравнений

Для вычисления неизвестных требуется решить систему

F1(x1,x2…xn)=0 F2(x1,x2…xn)=0 Fn(x1,x2…xn)=0

Из существующих прямых методов решения систем общего вида, т.е. использования итерационного метода.

Рассмотрим один метод обобщенного метода простой итерации

x1=f1(x1,x2…xn) x2=f2(x1,x2…xn) xn=fn(x1,x2…xn)

Алгоритм решения этой системы напоминает метод Гаусса-Зейделя.

Пусть в результате предыдущей итерации получаем значение незивестных

x1=a1 x2=a2 xn=an Тогда выражение для нахождения очередного приближения: x1=f1(a1,a2…an) x2=f2(x1,a2…an) x3=f3(x1, x2,a3…an) xn=fn(x1… x_n-1,…an)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последних итерациях не станут достаточно малыми

Max|xi^(k)-xi^(k-1)|≤ε

Успех метода во многом зависит от метода начального приближения. Желательно, чтобы был близким к искомому приближению.

25.11