-
Линии тока и траектории. Стационарные и нестационарные течения. Потенциальные течения
Задача 4.2.1. Для поля скоростей
найти линии тока и траектории и доказать, что они совпадают.
Задача 4.2.2. Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа. Найти
компоненты скорости и описать течение,
потенциалом которого является
.
Задача 4.2.3. Доказать, что для течения
линии тока и траектории совпадают.
Задача 4.2.4. Доказать, что для поля
скоростей
,
,
линии тока будут окружностями.
Задача 4.2.5. Найти линии тока и траектории, если поле скорости имеет вид:
а)
,
,
,
,
;
б)
,
,
,
;
в)
,
,
,
,
.
-
Ортогональные преобразования координат. Тензор 2-го ранга.Операции с тензорами. Тензор Кронекера
Задача 4.3.1. Матрица преобразования в системе со штрихами имеет вид:
-
Показать, что выполнены условия ортогональности.
-
Определить в системе со штрихами координаты точки, имеющей радиус-вектор
. -
Найти, как выглядит в системе со штрихами уравнение плоскости
.
Задача 4.3.2. В трехмерном пространстве
вычислить следующие выражения, содержащие
дельту Кронекера
:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
Задача 4.3.3. Оси декартовой системы
координат
получены поворотом системы
на угол
вокруг оси
.
Определить коэффициенты преобразования
указанных осей и найти компоненты
вектора
в системе со штрихами.
Задача 4.3.4. В приведенной таблице
частично заданы направляющие косинусы
углов между осями двух декартовых
ортогональных систем координат.
Определить элементы нижнего ряда таблицы
так, чтобы система
была правой.
Задача 4.3.5. Пусть углы между направлениями осей координат системы со штрихами и системы без штрихов даны в следующей таблице
Определить коэффициенты преобразования
и показать, что выполнены условия
ортогональности.
Задача 4.3.6. Дан тензор
.
Найти, где
,
где
.
Задача 4.3.7. Пусть
– компоненты тензора в ортонормированном
базисе
.
а) Показать, что набор
(например,
)
является компонентами некоторого
тензора.
б) Равны ли свертки
1)
и
;
2)
и
,
где
и
– компоненты векторов?
Задача 4.3.8. В некотором ортонормированном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям
а)
;
б)
.
Показать, что аналогичные соотношения выполнены для его компонент в любом ортонормированном базисе. В первом случае тензор второго ранга называется симметричным, во втором – антисимметричным.
Задача 4.3.9. Показать, что полная
свертка симметричного
и антисимметричного
тензоров равна нулю:
.
Задача 4.3.10. Рассмотреть суммы
компонент тензоров
и
в произвольном ортонормированном базисе
и показать, что они являются компонентами
тензора.
Задача 4.3.11. Тензор Леви-Чивиты определяется следующим образом
,
или
|
|
если какие-либо два или все три индекса совпадают, если индексы образуют круговую перестановку (123, или 231, или 312), если круговая перестановка нарушена. |
Показать, что компоненты векторного
произведения
можно записать с помощью тензора
Леви-Чивиты
.
Задача 4.3.12. Показать, что смешанное
произведение
можно записать с помощью тензора
Леви-Чивиты
.
Задача 4.3.13. Показать, что определитель
можно записать в виде
.
Задача 4.3.14. Доказать тождество
.
Задача 4.3.15. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, показать, что произведение символов Леви-Чивиты можно выразить через дельта-символ Кронекера
.
Задача 4.3.16. Показать, что следующие
функции компонент
симметричного тензора второго ранга t
являются его инвариантами:
а)
,
,
;
б)
,
,
.