11. Идеальная и ньютоновская жидкости

Задача 4.11.1. Подставить тензор напряжений для ньютоновской жидкости

в уравнение импульсов. Получить уравнения Навье-Стокса для в проекциях для декартовой системы координат для: 1) сжимаемой жидкости с переменной вязкостью, 2) сжимаемой жидкости с постоянной вязкостью, 3) несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью.

Задача 4.11.2. Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в круглой трубе описывается уравнением

.

Обозначить радиус трубы . Получить профиль скорости , расход через поперечное сечение, среднюю скорость , где – площадь поперечного сечения трубы, и выражение .

Задача 4.11.3. Получить профиль скорости в случае стационарного плоского течения несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью между двумя бесконечными параллельными пластинами.

Задача 4.11.4. Найти критическую и максимальную скорость при адиабатическом движении воздуха ().

Задача 4.11.5. Получить формулу Торричелли

Рис. 4.4.3

для скорости вытекания несжимаемой жидкости из сосуда.

Задача 4.11.6. Получить уравнение адиабаты для совершенного газа

или ,

где , используя термическое уравнение состояния (уравнение Клапейрона-Менделеева)

и выражение для внутренней энергии

, , .

Задача 4.11.7. Показать, что в начальной точке касательные к адиабатам Пуассона и Гюгонио совпадают, непосредственно продифференцировав уравнения этих адиабат:

.

12. Упругое тело

Задача 4.12.1. Используя обобщенный закон Гука, доказать теорему о том, что для тела Гука главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Задача 4.12.1. Получить уравнение импульсов для тела Гука – уравнение Ляме.

Задача 4.12.3. Получить из закона Гука выражение для упругих деформаций через напряжения

.

13. Ответы и решения

4.1.1. Прямой подстановкой найдем . Пользуясь векторной формулой , получим поле ускорений . Таким образом, . 4.1.2. Из второго и третьего уравнений получим и . Разрешая их, находим обращенные уравнения , , . Тогда компоненты перемещения , , , либо в эйлеровой форме: , , . , и компоненты скорости в лагранжевом представлении будут равны , , . С учетом соотношений и , эти выражения для компонент сводятся к , , . С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то из формулы находим , . Разрешая эти уравнения относительно и , получаем, как и прежде, , . 4.1.3. 6) Компоненты скорости в эйлеровых переменных , , . 4.1.4. 2) Компоненты скорости в эйлеровых переменных , , . 4.1.5. 2) Компоненты скорости в эйлеровых переменных , , . 4.1.6. Введем в пространстве декартову систему координат . В качестве лагранжевых координат частицы возьмем координаты точки пространства, в которой частица находилась в момент . а) Пусть ось направлена по (имеющему постоянное направление) вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в направлении оси на расстояние . Поэтому закон движения имеет вид , , . б) Пусть ось направлена по оси вращения, неподвижной в пространстве. Движение состоит в повороте вокруг нее на угол . Преобразование вектора начального положения частицы в вектор ее положения в момент осуществляется при таком повороте ортогональной матрицей . Поэтому закон движения имеет вид , , . Другое решение. Соответствие векторов евклидова пространства и троек чисел не обязательно устанавливать в виде , , , где – компоненты в декартовой системе координат. Например, можно использовать цилиндрические координаты , , , где – расстояние от конца вектора до оси , – угол между плоскостью, проходящей через и ось , и плоскостью , . При вращении вокруг оси цилиндрические координаты и частицы очевидно не меняются, а координата изменяется за время на величину , если угловая скорость постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических координатах имеет вид , , , здесь – лагранжевы координаты частицы. Таким образом, декартова система координат не всегда самая удобная. 4.1.7. При поступательном движении твердого тела скорости всех частиц одинаковы, , , . Из определения скорости , находится закон движения , , . 4.1.8. Поле скорости: , , ; поле ускорения: . В точке в момент находится материальная точка, имеющая лагранжевы координаты , , . 4.1.9. а) Поле скорости: , , ; поле ускорения: , , . б) Частица находится в точке . 4.1.10. Значения функций , где , указывают, какая частица находится в момент в точке пространства ; , . 4.1.11. В эйлеровом описании поля скорости и ускорения имеют следующий вид (точка означает производную по времени): а) , , . б) , , , . в) , , где , . 4.1.12. Закон движения имеет вид , , , где в качестве лагранжевых координат введены координаты положения индивидуальной точки (частицы) в данный момент . 4.1.13. Если в качестве лагранжевых координат ввести координаты частицы в момент , то закон движения примет вид: а) , , , где , ; б) , , где , ; в) , , . 4.1.14. Перепишем закон движения в виде , . Возведя эти равенства в квадрат и сложив результаты, исключим и получим траектории – окружности . По формуле найдем скорости , , , следовательно, . Наконец, при , откуда , . 4.1.15. Пользуясь формулой , находим , , . 4.1.17. Так как , формула материальной производной дает . Таким образом, в точке в момент . 4.1.18. Ответ: .

4.2.1. Касательная к линии тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого вектора касательной к линии тока можно написать и получить таким образом дифференциальные уравнения линий тока . Для указанного течения эти уравнения имеют вид . Интегрируя их с учетом начальных условий при , находим уравнения линий тока: , , . Интегрирование выражений для скорости дает закон движения , , . Исключая из этих уравнений время , получаем траектории, которые в точности совпадают с найденными выше линиями тока. 4.2.5. Лини тока в случаях а), б) и в) совпадают с траекториями, хотя в случаях а) и б) движения не являются установившимися. В случаях а) и в) лини тока лежат в плоскости , картины линий тока одинаковы во всех таких плоскостях и описываются соответственно уравнениями а) , в) . В случае б) линии тока – всевозможные прямые, проходящие через начало координат.

4.3.1. 2) ; 3) . 4.3.2. а) 3; б) 3; в) 3; г) ; д) . 4.3.3. , , , . 4.3.4. . 4.3.5. . 4.3.6. . 4.3.7. а) Указание: наборы и для ортонормированных базисов и связаны тензорным законом преобразования. б) Ответ: ; свертки и , вообще говоря, не равны. 4.3.9. Свертка не зависит от того, какими буквами обозначаются индексы, по которым проводится суммирование. Поэтому . Остается заметить, что и , и, таким образом, . 4.3.11. Проверяется непосредственно при каждом . 4.3.12. Проверяется непосредственно. 4.3.13. По результатам предыдущей задачи смешанное произведение можно представить так:

.

Если теперь положить , и , то будем иметь

.

Этот же результат можно получить и непосредственным разложением определителя по строке. Определитель можно также записать в виде ; очевидно, эти два выражения эквивалентны. 4.3.14. Рассмотрим определитель

.

Перестановка строк или столбцов ведет к изменению знака определителя, например,

.

Если строки менять местами произвольное число раз, то

,

а если менять столбцы, то

.

Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим

.

Если положить , то ; тождество доказано. 4.3.15. В тождестве, доказанном в задаче 4.3.14, разложим определитель по первой строке:

.

Положив , получим

. 4.3.16. Выразите через его компоненты в другом ортогональном базисе и используйте формулу , верную для матрицы ортогонального преобразования .

4.4.1. Главные значения равны , , ; соответствующие главные оси: , , . 4.4.2. , , . 4.4.3. а). , , ; , , . б) , , ; , , . в) , , ; , , . 4.4.4. а) Главные значения , , ; соответствующие главные оси, , , . б) Главные значения , ; соответствующие главные оси направлены вдоль вектора и вдоль произвольной пары ортогональных векторов, лежащих в плоскости векторов и .

4.5.2. Рассмотрим . Так как , то . Дифференцируя второй раз, получаем . Если , то и . . 4.5.3. а) записывается в виде , тогда имеет компоненты , но тензор антисимметричен по индексам и , тогда как симметричен по этим индексам, следовательно, произведение обращается в нуль. К тому же результату можно придти, вычисляя отдельно компоненту ; например, . б) , так как и . 4.5.4. Искомая производная вычисляется по формуле . Таким образом, . 4.5.5. Если и – декартовы системы координат, то и . Тогда будем иметь , а это и есть правило преобразования декартова тензора третьего ранга. 4.5.6. а) Вектор имеет компоненты , причем , а так как , то . Следовательно, . б) .

4.6.1. Эти материальные элементы переместились параллельно самим себе. Относительное удлинение элемента, направленного вдоль оси , равно ; элементов, перпендикулярных оси , равно . При происходит растяжение, при – сжатие материальных элементов. 4.6.2. Компоненты тензоров деформаций можно вычислить по формулам, связывающим их с компонентами поля перемещения. Ответ: (в лагранжевом описании), (в эйлеровом описании). Отличны от нуля только компоненты и тензоров Грина и Альманси, они равны соответственно , ; , . 4.6.3. а) Использовать формулу , где и – длина материального элемента до и после деформации. Относительное удлинение равно , где – компоненты единичного вектора, имеющего то же направление, что и . б) Относительное удлинение каждого из элементов равно . 4.6.4. а) Угол между материальными элементами можно найти, вычислив скалярное произведение векторов, которым соответствует их положение после деформации , . При этом следует учесть, что и воспользоваться ответом задачи 4.6.3 а), чтобы найти величины и . Угол между элементами определяется по формуле , где и – компоненты единичных векторов, имеющих то же направление, что и соответственно. б) Угол между элементами равен . 4.6.5. Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из формулы : , , . Разрешая относительно , получаем , , , а пространственные компоненты вектора будут равны , , . Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в материальной частице, представленная уравнениями , , займет после деформации положение , . А материальная линия , станет после деформации , . (Истолковать механический смысл этих результатов). 4.6.6. а) Замена координат , переводит круг в область, ограниченную эллипсом . При уравнение эллипса ; в главных осях (образующих углы с , ) оно принимает вид . На Рис. 4.4.5 показано геометрическое место смещенных точек.

Рис. 4.4.4

Рис. 4.4.5

б) Из задачи 4.4.6 перемещения ребер кубика находятся без труда. На ребре , компоненты перемещения . На ребре , мы имеем , , и частицы перемещаются в направлении пропорционально их расстоянию от начала координат. Для ребра , , , . Начальное и смещенное положения куба показаны на Рис. 4.4.5. 4.6.7. Имеем , причем в матричной форме определяется по формуле . , так что . Таким образом, . 4.6.8. Воспользовавшись тензором , определенным в задаче 4.6.7, по формуле найдем квадрат длины диагонали в матричной форме: . Подобным же образом для имеем и для . 4.6.9. Непосредственно по результатам задачи 4.6.8 найдем изменения а) для : ;

б) для : ;

в) для : . Из уравнения для имеем

. Изменения и можно установить тем же путем. 4.6.10. Из формулы . Путем обращения получим формулы для перемещений , , , откуда по формуле найдем . Если константа очень мала, то членами с и более высокими степенями можно пренебречь. В результате сводится к . 4.6.11. В данном случае градиент перемещения имеет матричную форму и в точке принимает вид . Разложим эту матрицу на симметричную и антисимметричную составляющие: . Тогда, как показывает формула , вектор имеет компоненты , . 4.6.12. Пользуясь формулой и тензором деформаций в точке , вычисленным в задаче 4.6.11, получаем относительное удлинение в точке в направлении как произведение матриц .

4.7.2. Для несжимаемой жидкости . В нашем случае ; следовательно, и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости удовлетворяется. 4.7.3. В этом случае и, проинтегрировав уравнение , получим , где – постоянная интегрирования. Так как при , это равенство принимает вид . Далее, интегрируя уравнения (суммирование по не проводится), находим , откуда . 4.7.4. , .

4.8.1. Требуется показать, что . В силу формулы , , а в силу того, что , получаем . 4.8.2. Имеем . Умножение лучше всего выполнять в матричной форме: . Таким образом, . 4.8.3. а) . б) , в) Так как , то и . 4.8.4. Для данных тензора напряжений и вектора нормали величина должна быть равна нулю. Запишем это в матричной форме: , откуда Решая эти уравнения, получим . Итак, решение дается тензором . 4.8.5. Так как – тензор нулевого порядка, в любой системе осей координат (со штрихами или без штрихов) он записывается одинаково: , но, согласно закону преобразования компонент вектора, , и поэтому , где в последнем члене использованы новые индексы суммирования. Таким образом, , а поскольку направления осей без штрихов произвольны, . 4.8.6. Уравнение поверхности напряжений в символической записи таково: . Используя матричную форму, получаем следующие результаты. а) . Отсюда видно, что поверхность напряжений для всестороннего равномерного растяжения является сферой . б) . Поверхность напряжений для одноосного растяжения представляет собой две плоскости, перпендикулярные линии действия напряжения. в) . Поверхность напряжений для простого сдвига есть гиперболический цилиндр с образующей, параллельной оси . г) . Для плоского напряженного состояния поверхность напряжения представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси нулевого напряжения, и направляющей в виде кривой второго порядка. 4.8.7. Уравнение поверхности напряжений имеет вид . Это эллипсоид .

4.9.2. Указание: прибавить к недивергентной форме записи уравнение неразрывности, умноженное на . 4.9.3. Указание. Воспользовавшись результатами задачи 4.3.12 и 4.3.15, доказать, что , где , – компонента вектора . Воспользоваться . 4.9.4. , , . 4.9.5. , , .

4.10.2. Указание. Задача описывается уравнением . Проинтегрировать уравнение с учетом граничных условий. Граничное условие на правой границе получить из (выражение слева – входящий в область тепловой поток по закону Фурье, слева – по закону Ньютона-Рихмана). Проверка теплового баланса состоит в том, что поток, входящий в область через левую границу, сложенный с суммарной генерацией тепла в области, равен потоку, выходящему через правую границу: . 4.10.3. Указание. Ввести безразмерные переменные: , . В переменных и заданное уравнение теплопроводности и граничные условия перепишутся в виде: ; при , при . Решение задачи имеет вид: . Осталось проверить выполнение теплового баланса: , где , . Уравнение теплового баланса следует также переписать в безразмерной форме и использовать решение задачи.

4.11.2. Умножить уравнение на . Проинтегрировать при граничном условии (одну из констант интегрирования следует положить равной нулю, чтобы функция не была бесконечно большой в окрестности нуля). , , , . 4.11.3. , где – половина расстояния между пластинами, – ось, параллельная пластинам, – перпендикулярная пластинам, – компонента вектора скорости, параллельная оси .