- •4. Задачи и упражнения
- •Эйлерово и лагранжево описание движения сплошной среды. Материальная производная
- •Линии тока и траектории. Стационарные и нестационарные течения. Потенциальные течения
- •Ортогональные преобразования координат. Тензор 2-го ранга.Операции с тензорами. Тензор Кронекера
- •Главные значения и главные оси симметричного тензора второго ранга. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям
- •Применение оператора Гамильтона к скалярным, векторным и тензорным величинам
- •Вектор перемещения материальной частицы. Лагранжев тензор деформаций (Грина). Эйлеров тензор деформаций (Альманси). Выражение через перемещения
- •Уравнение неразрывности
- •Вектор напряжений. Тензор напряжений
- •Уравнение импульсов
- •Уравнения кинетической и внутренней энергий
- •Идеальная и ньютоновская жидкости
- •Упругое тело
- •Ответы и решения
- •Рекомендуемая литература
- •Приложение 1. План учебного процесса по дисциплине «Механика сплошной среды»
- •Приложение 2. Именная справка
- •625000, Г. Тюмень, ул. Семакова, 10
-
Уравнение неразрывности
Задача 4.7.1. Из интегрального уравнения
,
где – пространственный объем, ограниченный поверхностью , получить дифференциальное уравнение неразрывности, рассуждая так же, как в случае материального объема .
Задача 4.7.2. Показать, что поле скоростей , где и – произвольная константа, удовлетворяет уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.
Задача 4.7.3. Для поля скоростей показать, что .
Задача 4.7.4. Записать уравнение неразрывности в эйлеровых переменных в прямоугольной декартовой системе координат, если: , а поле скоростей имеет вид:
Выразить через , .
-
Вектор напряжений. Тензор напряжений
Задача 4.8.1. Векторы напряжений и действуют в точке на площадках с нормалями и . Показать, что
.
Задача 4.8.2. Задан тензор напряжений в точке :
.
Определить вектор напряжения в точке на площадке с единичным вектором нормали .
Задача 4.8.3. Для вектора напряжений задачи 4.8.2 определить:
а) компоненту, перпендикулярную площадке;
б) модуль ;
в) угол между и .
Задача 4.8.4. Напряженное состояние в некоторой точке задано тензором напряжений
,
где , , – константы, а – некоторое значение напряжения. Определить константы , , и так, чтобы вектор напряжения на октаэдрической площадке с единичной нормалью
был равен нулю (октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями напряжений).
Задача 4.8.5. Показать, что закон преобразования тензора напряжений можно получить, воспользовавшись выражением для величины нормального напряжения на произвольной площадке, имеющей единичный вектор нормали .
Задача 4.8.6. Найти поверхности напряжений Коши в точке для следующих состояний напряжения:
а) всестороннее равномерное растяжение (сжатие):
, ;
б) одноосное растяжение (сжатие):
, ;
в) простой сдвиг
, ;
г) плоское напряженное состояние:
, , .
Задача 4.8.7. Показать, что для напряженного состояния, заданного тензором с матрицей поверхность напряжений Коши будет эллипсоидом, если , и имеют одинаковые знаки.
-
Уравнение импульсов
Задача 4.9.1. Получить дифференциальное уравнение импульсов, рассматривая интегральное уравнение
,
где – пространственный объем, ограниченный поверхностью .
Задача 4.9.2. Получить дивергентную форму записи ускорения
.
Задача 4.9.3. Доказать формулу Громеки-Лэмба
.
Задача 4.9.4. Поле тензора напряжений в декартовых координатах задано матрицей
, .
Какими должны быть массовые силы, чтобы среда с заданной плотностью была в равновесии?
Задача 4.9.5. Пусть в декартовой системе координат тензор напряжений имеет компоненты
,
остальные компоненты равны нулю; , . Найти массовые силы, если известно, что среда находится в равновесии.
-
Уравнения кинетической и внутренней энергий
Задача 4.10.1. Получить дифференциальное уравнение баланса энергии, рассматривая интегральное уравнение
,
где – пространственный объем, ограниченный поверхностью .
Задача 4.10.2. Решить стационарную задачу одномерной теплопроводности. Область имеет длину . Коэффициент теплопроводности и источник тепла имеют постоянные значения во всей области: , .
Температура на левой границе равна , а на правой границе тепло уходит в окружающую среду, имеющую температуру с коэффициентом теплоотдачи . Получить аналитическое решение для и вычислить значение тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.
Рис. 4.4.2 |
|
Задача 4.10.3. Рассмотреть задачу стационарной одномерной теплопроводности в полом цилиндре с постоянными и , описываемую уравнением
.
Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных известных температурах и . Отношение радиусов равно 4. Источниковый член задан выражением . Получить аналитическое решение. Посчитать плотность тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.