- •Введение
- •Общая структурная схема системы управления.
- •Типовые описания блоков (объектов).
- •Общая запись системы уравнений в форме Коши для линейных систем с постоянными коэффициентами.
- •Преобразование Лапласа.
- •Способы описания динамических систем:
- •Свойство обратной связи
- •Статические системы
- •Устойчивость линейных систем
- •Устойчивость систем высокого порядка.
- •Понятие вариации функционала
- •Необходимое условие экстремума функционала
- •Задача Эйлера. Уравнение Эйлера.
- •Функционалы, зависящие от высших порядков
- •Функционалы, зависящие от нескольких аргументов (векторного аргумента)
- •Вариационные задачи с подвижными границами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа в задачах вариационного исчисления.
- •Достаточные условия экстремума функционала
- •Принцип максимума Понтрягина
- •Уравнение Беллмана
Способы описания динамических систем:
-
ДУ высокого порядка
-
передаточная функция
-
переходная характеристика (реакция на ступеньку)
-
импульсная переходная характеристика (реакция на узкий импульс единичной площади)
-
система ДУ в форме Коши
Лекция 3.
Свойство обратной связи
Есть объект управления
Обратная связь – эффективное средство.
а)
хвх хвых=kxвх
k = 100
kp = 50
Усилитель: k=10000
желание хвых
хос
блок
принятия промежуточное устройство
решения
β – усилитель с коэффициентом усиления β < 1
- обратная связь
R1
хвх R2
xвых
откуда
1). Выбираем β = 0,01
k = 10000
Лучше эта конструкция, чем а).
2). Если k = 5000
Свойство – стабилизирующее. Не зависит от k. Обратная связь обладает стабилизирующими свойствами. Если , то .
Статические системы
(описываются не ДУ, а алгебраическими уравнениями)
Свойства ОС применительно к динамическим системам.
s – комплексная переменная
u(s) (s) x(s)
w(s)
Обратная связь изменяет ДУ системы.
Если
-
Разомкнутый объект
u x
2. Замкнутая система
u x
Лекция 4
Устойчивость линейных систем
Если система описывает(1), то саму экономическую систему будут называть линейной.
Система, описывающаяся линейным ДУ первого порядка.
dx/dt+x=0
Если нач. условия различны
x(o)=x0
ce-t|t=0=x0
c= x0
x(t)=x0e-t
x
x0
x0
t
dx/dt-x=0
x(t)=ceλt
x t=cλeλt
cλeλt-cλλt=0
c(λ-1)eλt=0
λ=1
x(t)=c*et
Различные начальные условия
x(0)=x0
cet|t=t0=x0
c=x0
x(t)=x0*et
x0=0=>x(t)=0
x0=10-12=>x(t)=10-12*et,
самопроизводный разгон объекта – неустойчивость
Начинаем управлять объектами => неоднородность появляется
-
dx/dt+x=U
U(t)=1(t)
вместо 1→U нас интересует t≥0
t=0
x(0)=x0
xодн(t)=ce-t
U
t=0
x*(t)=At+B
(x*) t=A
A+At+B=U
A=0
A+B=U
B=U
x*(t)=U
x(t)=c*e-t+U
Поведение системы в зависимости от X0
x(0)=x0
ce-t+U| t=0=x0
c+U=x0
c=(x0-U)
x(t)=(x0-U)e-t+U=U(1-e-t)+x0e-t
При t→∞, e-t→0
Вывод: в зависимости от того, какое U всегда стремление к U
U - управляющее воздействие, которое позволяет вывести объект в нужное состояние
dx/dt-x=U
xодн(t)=cet
x*(t)=At+B
x*(t) = A
A-At-B=U
A=0 B= -U
A-B=U
x(t)=c*et-U
x(0)=x0
cet-U | t=0 =x0
c-U= x0
c=U+ x0
x(t)=(U+ x0)et-U=U(et-1)+ x0et
Каковы бы ни были начальные условия, процесс убегает в бесконечность. Не зависимо от нашего воздействия.
Если ДУ не очень хорошее, то с этим объектом возникают проблемы.
Без управленческого воздействия все зависит от вида ДУ.
Нужно поменять описание объекта.