Уравнение Беллмана

Если мы нашли оптимальный отрезок.

Принцип оптимальности (ПО)

x_k

x_n

x₀

0 t_n T

Cвязано с использованием аддитивного критерия оптимальности.

Пусть конечное состояние динамической систем известно.

Критерий оптимальности:

x_k

t = 0

min Y

t – произвольный момент

x – состояние в момент времени t

S(x,t) = min Y

x(t) – известно

(Берем малый )

так как при 0 G(t)

G зависит от x,u,t.

Введем обозначения: < grad S; f >

Градиент скалярное произведение

Делим на . Потом устремляемк 0 (для того, чтобы равенство было точным)

- уравнение Беллмана

Если задача автономна (нет явной зависимости от t в f_i, G) то

Автономность – не имеет значения, в какой момент времени начинается оптимизация. Тогда S(x,t) не зависит от t (времени начала оптимизации) – имеет значение только начальное и конечное состояние.

Пример:

при t = 0

при t =

Cистема является автономной

S(x,t) = S(x₁)

G f

При известном S можно найти u(x)

- решив это уравнение, можно найти S

Система оптимального быстродействия - G =1

Аналоговый непрерывный вариант динамического программирования – уравнения Беллмана. Принцип максимума и уравнение Беллмана дают одинаковые результаты.

46