Устойчивость систем высокого порядка.
an*dnx/dtn+…+a1*dx/dt+a0x=f(t) формируется с помощью U(t)
xнеод(t)=xодн(t)+x*(t)
an*dnx/dtn+…+a1*dx/dt+a0x=0 – ОДУ
xодн(t)=ceλt
x одн(t)=cλeλt
x одн(t)=сλ2eλt
xnодн(t)= сλneλt
ceλе(anλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0)=0
anλn +an-1λn-1+…+a1λ+a0=0
λ1, λ2,…,λn – корни, обязательно действительные числа
все λi – действительны!!!
xодн=c1eλ1t +c2eλ2t+…+cneλnt
-
Если хотя бы одно из λi >0 – система неустойчива
Устойчивость системы описывается с помощью корней характеристического уравнения.
-
Если есть 2 комплексных корня:
£+iβ
£-iβ
x1(t)=c1e£tsinβt
x
2(t)=
c2e£tcosβt
Reλi<0 для всех i
Обратная связь меняет ДУ– это эффективный способ изменить корни ДУ.
u*et
Неравная зависимость решений от начальных условий.
Если для каждого Е>0 можно найти такое δ
׀x0`- x0׀< δ→ ׀x`(t) →x(t)׀<E
W(s) = k/ (s+1)3
s1=-1
s2=-1
s3=-1
W3=(k/(s+1)3) / (1+k/(s+1)3) = k/((s+1)3 +k)
(s+1)3+k=0
k=27
(s+1)3+27=0
s+1=z
z3+27=0 z1=-3
Лекция 5
Методы вариационного исчисления.
Функционал – y(f(x)) – называется соответствие функций f(x) и числа у
Отображение функции f(x) в число у
Функционал определен в линейных/метрических пространствах с целью изучения физических свойств.
y(f(x)) определяется на множестве функций Н, удовлетворяющему условиям:
-
c1f1(x)+c2f2(x)єH если f1(x), f2(x)єH
-
Между функциями f1(x) и f2(x) определено расстояние.
f1(x)
f2(x)
׀f1(x)-f2(x)׀ мал, то f1(x) и f2(x) близки – это близость нулевого «0» порядка.
b
y= a∫f(x)dx
b
y1= a∫f1(x)dx
b
y2= a∫f2(x)dx
b
y1-y2=a∫[f1(x) – f2(x)]dx
мало
b
a∫[f `(x) – f(x)]dx
f2 f1
близки, но производная у одной мала, у другой велика.
׀f `1(x) – f `2(x)׀ – малая величина
близость первого порядка
b
y=a∫F(x,y(x),y`(x),y``(x),…,y(n-1)(x))dx
|
Дифф. исчисл. |
Вариац исчисл. |
|
1 – аргумент веществ переменная х 2 – значение функции-число 3 – имеется понятие lim неопред ф-ии 4 – есть понятие fx` 5 – приращение аргумента Δx – число
6 – есть понятие дифференциала dy(x) 7 – есть необходимое условие экстремума dy(x)=0
|
аргумент – функция вещ перем f(x) значения функционала - числа имеется понятие lim неопред функционала производная от функционала отсутствует приращение аргумента η(x)- функция (вариация аргумента) понятие диффер- вариация функционала δy есть необходимое условие экстремума δy=0 |
y(x) – дифференцируема в (.)x0 , если Δy=AΔx+O(Δx) Δy имеет больший порядок малости, чем Δx
dy=AΔx – линейная часть приращения функции.
x0
lim O(Δx)/Δx=0
Δx→0
Δy/Δx=AΔx/Δx + O(Δx)/Δx
f ` =A
Дифференциал – линейная часть приращения
Линейный функционал
Yл(λ1f1(x) + λ1f2(xx))= λ1Yл(f1(x)) + λ2Yл(f2(x))