- •Тема 1.
- •Суть, призначення та умови застосування тй та мс
- •Основні типи соціально-економічних задач, які розв'язуються методами тй та мс.
- •Стохастичний експеримент
- •Випадкові події та операції над ними.
- •Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •Частотне та класичне означення ймовірності.
- •Елементи комбінаторики.
- •Тема 2 Геометричне означення ймовірності. Аксіоми теорії ймовірностей.
- •Геометричне означення ймовірності
- •Аксіоми теорії ймовірностей.
- •Тема 3. Умовні ймовірності. Формула повної ймовірності, формула Байєса. Незалежні події.
- •Тема 4. Дискретні випадкові величини. Основні числові характеристики.
- •Тема 6. Неперервні випадкові величини (нвв)
- •Тема 7.
- •2. Функції від випадкових величин.
- •Тема 8.
- •Тема 9. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.
- •Центральна гранична теорема.
- •Тема 10. Елементи описової статистики. Емпірична функція розподілу. Гістограма.
- •Елементи описової статистики.
- •Емпірична функція розподілу. Гістограма.
- •Тема 11. Статистичне оцінювання параметрів. Вибіркове середнє та дисперсія.
- •Вибіркове середнє квадратичне відхилення:
- •Вибіркова мода:
- •Вибіркова медіана:
- •Незміщенність
- •Ефективність
- •Тема 12. Методи моментів і максимальної правдоподібності. Надійні інтервали.
- •Тема 13. Перевірка статистичних гіпотез
- •Тема 14.
- •Тема 15.
- •16.Коефіцієнт кореляції рангів
-
Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій.
Простір Ω елементарних подій називається дискретним, якщо множина Ω скінченна або зліченна.
Нехай простір елементарних подій Ω = {w1, .., wn, …} дискретний. Кожній елементарній події wі можна поставити у відповідність невід'ємне число рі.
0≤рі≤1 Σ pі=1
Р(А)= Σ рі, де Р(А) назив. ймовірність події А
Властивості:
-
0≤Р(А)≤1
-
P(Ω) = Σ pі =1
-
А, В А∩В=ø
Р(АUВ) = Σ рі = Σ рі+ Σ рі=Р(А)+Р(А)
-
Частотне та класичне означення ймовірності.
Статистичне (частотне) означення ймовірності: нехай Ω - простір ЕП. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається на ньому. Повторимо цей експеримент n разів. Позначимо через (А) число експерт, в яких відбулася подія А. Частотою події А назив. відношення . Частота може бути обчислена лише після того, як проведена певна к-сть експериментів
Класичне означення ймовірності: Нехай Ω склад. з n – елемнтарних, рівноможливих подій р(ω)= . До складу події А входить n цих подій. Тоді ймовірність події А:
-
Елементи комбінаторики.
Основний принцип комбінаторики (правило множення). Нехай треба поcлідовно виконати k дій. Першу можна виконати n1 способами, другу — n2 способами, третю — n3 способами і т. д. Всі k дій може бути виконано n1 ... n2…nk способами.
Комбінації (сполуки) з n елементів по k. Нехай A — множина з n елементів. Довільна k-
елементна підмножина множин з n елементів називається комбінацією з n елементів по k. Порядок елементів у підмножинах неістотний. Число k-елементних підмножин множини з n елементів позначають :
,де n!=1*2.. n
0!=1, → = 1.
Перестановки. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлено у відповідність певне число (номер елемента) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або порядком їх.
Різні впорядковані множини, які відрізняються тільки порядком елементів (можуть бути утворені з тієї самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює :
Pn = n!
Розміщення з n елементів по k. Упорядковані k-елементні підмножини множини, що містить n елементів, називаються розміщенням з n елементів по k. Число розміщень з n елементів по k дорівнює:
Біном Ньютона. , де n — натуральне число. Якщо a = b = 1, то
Величина , є (k+1)-й член в розкладенні бінома, k = 0,1,K,n.
Число способів розбиття множини з n елементів на m груп. Нехай , , …, — цілі невід'ємні числа, причому + + …+ = n. Число способів, якими можна подати множину A з n елементів у вигляді суми n множин, що містять відповідно k1, k2, …, елементів, дорівнює:
Перестановки з повтореннями. Число різних перестановок, які можна утворити з n елементів, серед яких є k1 елементів першого типу, k2 елементів другого типу, ...,km елементів m-го типу, дорівнює: