Тема 6. Неперервні випадкові величини (нвв)

ВВ ξ називається неперервною, якщо існує кусково неперервна функція р(х) така, що функція розподілу ймовірностей ВВ ξ має вигляд

F(x)=

Кусково-неперервна функція або неперервна або має точку розриву 1го роду.

Функція р(х) називається цільністю розподілу ймовірностей НВВξ

·р(х) ≥0 …. ·.

·F’(x)=р(х),в точка неперервності р (х)

…………………………………….

Геометрич. зміст властивойстей р(х)

1) Графік р(х) лежить не нижче осі Ох

2) Площа фікури обмежена графіком у=р(х) і віссю Ох

ВВ ξ – Р {ξ є [α,β] } = F(β) – F(α)

НВВξ– Р {ξ є [α,β] } =

Функція розподілу НВВξ є неперервною функцією, тому ймовірність попадання ξ в точку = 0. Отже, при обчисленні ймовірності попадання НВВ ξ в проміжок не має значення чи включаються кінці проміжку чи ні.

F’(x)=p(x)

Числові характеристики НВВ ξ

Мξ=

Dξ=……………………………

σξ=√D

Тема 7.

1.Ріномірний розподіл-НВВ ξ має рівномірний розподіл на відрізку , якщо її щільність задається формулою:

Mξ =

Mξ² =

Dξ =

ξ =

Показниковий розподіл-НВВ ξ має показниковий розподіл з параметром λ>0, якщо її щільність задаеться формулою:

Mξ=ξ=

Нормальний розподіл- НВВ ξ має нормальний розподіл з параметрами , якщо її щільність визначається формулою:

P(x)= ;

F(x)=;

Mξ=a;

ξ=;

Dξ=^2;

2. Функції від випадкових величин.

Нехай задана монотонна функція y=g(x).Введемо випадкову ВВη= g(ξ)

g(ξ)}

=

Нехай -НВВ,

P

Тема 8.

Математичним сподіванням ДВВ ξ називається Mξ = , де ряд є абсолютно збіжним.

Дисперсією ДВВ ξ називається число Dξ=

Нерівність Чебишева:

Для довільної ВВ ξ, що має Mξ та Dξ та для довільної >0 виконується:

P

P

Якщо ξ має біноміальний розподіл, то нерівність набуде такого вигляду: P;

Коефіцієнт кореляції –

Тема 9. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.

1. Теорема Чебишева (Закон великих чисел).

Якщо … – послідовність НВВ, що мають М= , і=1,∞ та обмежені в сукупності дисперсії (,тоді ε>0 виконується:

Зміст теореми: при великих значеннях n ( ВВ)практично вирогідно,що ВВ мало відрізняється від детермінованої величини , тобто при зростанні n ВВ втрачає свою випадковість і перетворюється у детерміновану.

Доведення: η =

ΣD

Нерівність Маркова(Чебишева): нехай ВВξ невід’ємна ξ≥0 та має матем сподівання, тоді при А>0 виконується :

або

Доведення для ДВВ ξ:

ξ		..
Р		..

М= при А>0⇒.

Мξ=

Нерівність Чебишева: для довільної ВВξ, що має матем сподівання і дисперсію та для довільного ε>0 виконується:

або

Доведення:

η = ; A=

Якщо ξ має біноміальний розподіл,то нерівність набуде такого вигляду:

; M( D⇒

2. Центральна гранична теорема.

ЦГТ – це комплекс теорем про закон розподілу сумм ВВ.

Теорема Ліндеберга-Леві:якщо …-послідовність незалежних, однаково розподілених ВВ, що мають М= та дисперсії δ ,то стандартна сума цих величин при n→∞ має розподіл, який наближається до стандартного нормального.

Наслідок з ЦГТ:

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа:

	0	1
P	q	p

якщо в i-тому випробуванні успі; якщо невдача.

q + p=1 М=p D=

Якщо і=1,∞ - послідовність незал випробувань,в кожному з яких може настати успіх або невдача,то виконується:

- к-сть успіхів у випробуванні