Тема 4. Дискретні випадкові величини. Основні числові характеристики.

Нехай задано ймовірнісний простір .

Випадковою величиною  називається функція, що задана на і яка є вимірною відносно . : . €, х€R → вимірна відносно .

Функцією розподілу ВВ  називається функція вигляду = P

Зауважимо що можна спростити вираз:

F(x) = P

Геометричний зміст F(x)

F(x) = ймовірності того, що точка, навмання кинута на числову вісь потрапить на проміжок ()

Ймовірність того, що ВВ набуває значень з проміжку [α,β)

P = F() – F()

Властивості F(x):

1. F(x) неспадна на R (якщо , то F() € F())

2. F(x) неперервна зліва

3. F (+) =

F (-) =

4. P = F () =

P = F () – F()

Властивості 1-3 є характеристичними властивостями F(x). Якщо взята довільна функція, що має властивості 1-3, то можна побудувати ВВ , функція розподілу якої буде збігатися із заданою функцією.

Рис.

……………………………………….

Дискретні випадкові величини(ДВВ)

ВВ назив. ДВВ, якщо вона має скінчене або зчисленне число значень.

Розподілом ймовірностей ДВВ назив. сукупність пар чисел (), і=, де € R – значення ДВВ, - імовірність того, що ДВВ набула значення

→ = P, 0≤

p (), якщо i

F(x) =

ДВВ η назив. незалежними, якщо виконується:

P = P P для будь-яких i,j

Числові хар-ки ДВВ

1. Математичним сводіванням ДВВ назив. М = , де ряд є абсолютно збіжним.

Числовий ряд – нескінчена сума числової послідовності. ,

=

= S € R

2. Дисперсією ДВВ назив. число D =

3. Середнім квадратичним відхиленням ДВВ назив. число δ =

Мат. сподівання характеризуєцентр розсіяння ВВ (сер. очікуване значення). Дисперсія та відхилення хар-уть ступінь ДВВ від її мат. сподівання.

Властивості числових хар-ик

1. → М≥0: = 0 <=> М = 0, Mc=c, M(c) = cM

2. ( ) = М +

3. = М М

4. незалежні ДВВ, то М() = ММη

5. D≥0; D=0 <=> = М, Dc = 0, D(c) = D

6. ( ) = D

7. незалежні ДВВ, то D() = D + D

D(() = D() = D + D

8. D= M() –

M() =

D= M( = M() = - 2 = -

Тема 5

Біномінальний роподіл

ДВВξмає біноміальний розподіл колиξ- це чило успіхів в схемі Бернуллі з параметрами (n,p)

ξ	1 2 … n
P	Pn(0)Pn(1)Pn(2)…Pn(n)

Mξ= np Dξ =npq σξ=√npq

Геометричний розподіл

ДВВξ має геометричний розподіл якщо ξ – число випробувань в схемі Бернуллі при n→∞ до першоъ появи успыхыв включно.

ξ	0 1 2 ………. n
P	P

σξ=…… P=

Розподіл Пуассона

ДВВ ξ має розподіл пуассона, якщо вона набуває цілих невід’ємних значент з ймовірностями P(m) = >0 - парметр розподілу Пуассона.

ξ	0 1 2 ………. N
p	P(0)P(1) P(2) …… P(n)

Mξ=Dξ=λ σξ=√λ

Граничні теореми для біноміального розподілу.

Наслід0к з л0кальн0ї те0реми Муавра-Лапласа

Для схеми Бернулі з параметрами (n,p) при n прямує д0 безкінечн0сті, вик0нується:

Властив0сті φ (x) – функція завжди парна

1) φ (-x)= φ (x)

2) φ (x)=0, x=>4

3) φ(x) – табуль0вана, табл. 1

Наслід0к із інтегральн0ї те0реми Муавра-Лапласа, для схеми Бернулі з параметрами (n,p) при n прямує д0 безкінечн0сті, вик0нується:

Аб0 ж Pn(m1<=m<=m2)=Ф((m2-np)/(npq)^1/2) – Ф(((m1-np)/(npq)^1/2) – ну це так, п0ль0т фантазії

1. Ф(-x)= -Ф(х)

2. Ф(х)=0.5, х=>4

3. Ф(х) – табуль0вана, табл. 2

Наслід0к із те0реми Пуасс0на , для схеми Бернулі з параметрами (n,p) при n прямує д0 безкінечн0сті та p=λ/n, λ є ( 0; 9) Вик0нується Pn(k)=P(k)

P(k) – йм0вірність р0зп0ділу Пуасс0на з паметр0м (n,p), λ=n*p,

Табл. 3

Зауваження ст0сується практичн0г0 заст0сування:

- при виб0рі р0зрахунк0в0ї ф0рмули к0ристуються такими принципами: якш0 n<=30, т0 ше беруть Пуасс0на

- p – не мале числ0 (n*p=>10, n*p*q=>10) заст0с0вуються ф0рмули Лапласа

- якш0 n велике числ0, p – мале (n*p<10, n*p*q<10) вик0рист0вуються ф0рмулу Пуасс0на