Послідовність виконання роботи

1. Опорну призму закріпити на кінці маятника на якнайменшій поділці шкали, відстань а занести в таблицю;

2. Привести стрижень в коливання;

3. За допомогою секундоміра визначити час десяти коливань, обчислити період, значення n, t и T = t / n внести в таблицю;

4. Дослід повторити 15 разів, для 15-ти значень відстані (a) опорної призми від кінця стрижня (повторюються пункти 1-3);

5. Виміряти приведену довжину фізичного маятника.

6. За отриманими даними (внесеними в таблицю) побудувати графік залежності періоду від довжини a: T(a), де [a] = см, [T] = с;

7. За формулою визначити значення для трьох значень і , i = 1, 2, 3, визначених з графіка;

8. За істинне значення прийміть значення

Контрольні запитання

1. Що називається коливанням? Вільними коливаннями? Гармонійними коливаннями?

2. Дайте визначення амплітуди, фази, періоду, частоти, циклічної частоти коливання.

3. Від чого залежать амплітуда і початкова фаза гармонійних механічних коливань?

4. Дайте визначення фізичного маятника; моменту інерції.

5. Сформулюйте теорему Штейнера.

6. Чому дорівнює період коливань для фізичного маятника?

7. Що називають його приведеною довжиною?

Література

1. Трофимова Т.І. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1998 – 542 с. § 142.

2. Савельев І.В. Курс общей физики. Т. 1.- М.: Hаука, 1987. – 432 с. § 49, 54.

3. Детлаф А.А., Яворський Б.М. Курс фізики. - М.: Вища школа, 2000. - 718 с. § 27.2.

В-16 Вивчення загасаючих та вимушених коливань на прикладі пружинного маятника

Мета: ознайомитись із загасаючими та вимушеними коливаннями реальної коливної системи; навчитись визначати її параметри та характеристики: логарифмічний декремент та коефіцієнт загасання, період коливань, власну та резонансну частоти.

Прилади і матеріали: комп’ютерна програми ”Загасаючі та вимушені коливання”, секундомір, вимірна лінійка.

Теоретичні відомості

На реальні коливні системи завше діють сили опору середовища та сили тертя. На їх подолання коливна система витрачає надану їй енергію. Тому амплітуда коливань з часом буде зменшуватись. Такі коливання називаються загасаючими. Через деякий час вони припиняються.

На таку коливну систему (наприклад, пружинний маятник) в деякому середовищі будуть діяти сили пружності і опору , де k – коефіцієнт жорсткості пружини, а r – коефіцієнт опору (для малих швидкостей залежність F_о(υ) має лінійний характер). Тоді ІІ закон Ньютона матиме вигляд:

. (16.1)

Спроектувавши дане рівняння на напрям руху, отримаємо:

-kx – rυ = ma . (16.2)

Враховуючи, що υ = , a = , отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

. (16.3)

В загальному вигляді диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

, (16.4)

а його розв’язок:

, (16.5)

де (16.6)

– амплітуда загасаючих коливань (рисунок 16.1), β = r/2m – коефіцієнт загасання, – циклічна частотазагасаючих коливань – власна циклічна частота, – початкова фаза.

Швидкість загасання коливань характеризується логарифмічним декрементом загасання λ – відношенням амплітуди коливань в момент часу до амплітуди коливань в момент часу :

. (16.7)

Для більшої точності визначення значення λ порівнюють амплітуди не через час , а через , тобто через повних коливань. Якщо амплітуда змінилася в разів, то

. (16.8)

Тоді значення коефіцієнта загасання

, (16.9)

а період загасаючих коливань визначається із співвідношення

. (16.10)

Зверніть увагу, що: 1) загасаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амплітуди коливання повторюються не абсолютно точно; 2) період коливань тіла у в’язкому середовищі більший, ніж період його власних коливань; 3) коли опір середовища великий, коливання не виникають, зміщене тіло повільно повертається у вихідне положення рівноваги.

Добротністю коливної системи називається величина

. (16.11)

Враховуючи (16.10), отримаємо:

. (16.12)

Щоб коливання не загасали, до системи потрібно підводити енергію ззовні. Найкраще це робити дією зовнішньої періодичної змінної сили:

. (16.13)

Таку силу називають вимушуючою, а коливання, що виникають під її дією, вимушеними.

Тоді другий закон Ньютона дещо зміниться:

, (16.14)

а диференціальне рівняння вимушених коливань матиме вигляд:

. (16.15)

Розв’язком даного рівняння є

, (16.16)

де . (16.17)

Рисунок 16.2

Тобто вимушені коливання є гармонійними, частота яких дорівнює частоті вимушуючої сили. Амплітуда вимушених коливань (рисунок 16.2) залежить не тільки від амплітудного значення вимушуючої сили, а й від її частоти. Для певного значення частоти вимушуючої сили ω_р амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Таке явище називається резонансом.

Із умови мінімуму підкореневого виразу в (16.18) отримаємо

. (16.19)

Підставляючи (16.18) у (16.17), знайдемо резонансне значення амплітуди

. (16.20)

Якщо опір середовища малий – ( >> ), то . Тоді амплітуда вимушених коливань стає дуже великою.

Таке явище резонансу в механіці може спричинити руйнування споруд і машин. Наприклад, періодичні поштовхи від поршневих машин, силових валів турбін, гребних гвинтів і пропелерів передаються на фундаменти чи частини машин та механізмів. Тут резонанс дуже небезпечний.