- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Упражнения
-
Построить векторы + и – , если:
-
-
Проверить геометрически справедливость следующих равенств:
1) (+ )+(– )=2; 3) + = (+)/2;
2) (+ )– (– )=2; 4) (– )/2+ = (+)/2.
-
Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:
1) ; 2) ; 3) .
-
Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что
1) =+; 3) ++=;
2) ++=; 4) ++=.
-
Дан параллелограмм . Пусть =, =. Выразить векторы , , , через векторы , .
-
Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.
-
Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.
-
Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.
-
Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.
-
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].
-
Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где
1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = –, =3.
-
Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что
1) =; 3) +=;
2) −+=; 4) –=;
5) коллинеарен , где =2–3, =–.
-
Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .
-
Пусть – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, =, =, =. Выразить вектор через векторы , , .
-
Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.
-
Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
Цель занятия: усвоение понятий базиса и координат векторов, выработка навыков нахождения координат векторов в произвольном базисе, усвоение понятия скалярного произведения и выработка умений использования этого понятия.
-
Базисы и координаты векторов
-
Определение. Два любых линейно независимых вектора некоторой плоскости называются базисом этой плоскости. Три любых линейно независимых вектора называют базисом пространства.
-
В пространстве нужно различать правые и левые базисы. Базис называется правым (левым), если при наблюдении с конца вектора вращение вектора по кратчайшему пути к вектору происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке).
На рисунке 4,а изображен левый базис (вектор направлен от наблюдателя), а рисунке 4,б изображен правый базис (вектор направлен от наблюдателя). Если векторы , , попарно ортогональны, то базис называется прямоугольным. Прямоугольный базис называется ортонормированным, если все векторы этого базиса имеют единичную длину. Обычно ортонормированный базис обозначается . Аналогично на плоскости. Если к базису на плоскости (в пространстве) добавить точку (начало отсчета), то возникает система координат на плоскости (в пространстве). Введенные для базисов понятия автоматически переносятся на системы координат.
-
Теорема. Пусть – произвольный базис в пространстве. Тогда для любого вектора пространства имеет место разложение
. (2)
Разложение (2) единственно.
Аналогичное разложение имеет место для любого вектора некоторой плоскости относительно любого базиса этой плоскости. Далее формулируем результаты для векторов в пространстве; соответствующие результаты для плоскости очевидны.
-
Определение. Коэффициенты , , в разложении (2) называют координатами вектора в базисе и пишут . Координатами точки M в системе координат называют координаты вектора в базисе .
-
Теорема. Координаты вектора, являющегося линейной комбинацией других векторов, равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
Важным является вопрос о связи координат вектора в различных базисах. Пусть в пространстве заданы два базиса и причем
(3)
Если известны координаты , , вектора в «новом» базисе , то координаты , , этого вектора в «старом» базисе можно найти по формулам:
(4)
Более того, можно решить и обратную задачу. Если известны координаты , , вектора в базисе , то координаты , , этого вектора в «новом» базисе можно найти, решая систему линейных уравнений (4).
-
Пример. Даны векторы , , , . Доказать, что векторы образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Убедимся, что векторы линейно независимы, т.е. векторное равенство возможно лишь при . Действительно, в соответствии с теоремой (п.2.1.4) имеем:
Данная система имеет тривиальное решение (), если ее определитель
отличен от нуля. Убеждаемся, что . Таким образом, тройка векторов линейно независима и образует базис. Нам известны координаты вектора в некотором «старом» базисе . Для того, чтобы найти координаты вектора , в «новом» базисе , составим систему уравнений вида (4) и решим её. В этой системе координаты векторов располагаются по столбцам:
Вычисляем , , по формулам Крамера. Определитель данной системы уже найден: . Имеем далее
; ; .
Отсюда , , , т.е. в базисе .