- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Упражнения
-
Даны векторы , , . Найти координаты следующих векторов:
-
1) ×; 2) ; 3) ×(); 4) (×).
-
Найти , если известны , , :
1) , , ; 2) , , .
-
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.
-
Найти площадь треугольника ABC, если:
1) , , ; 2) , , .
-
Найти длину высоты треугольника ABC, если:
1) , , ; 2) , , .
-
Проверить; что векторы , коллинеарны, если векторы , , , связаны соотношениями ×=×, ×=×.
-
Упростить выражения:
1) (+)×+(+)×+(+)×;
2) (+–)×–(+–)×+(+–)×.
-
Решить уравнение ×=, где , .
-
Три силы , , приложены в точке . Определить момент равнодействующей этих сил относительно точки .
-
Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и , , . Вычислить (× ).
-
Пусть , , – произвольные векторы. Доказать, что:
1) ((+)×(+))(–)=0; 2) ((–+)×(+))=2.
-
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , как на сторонах. Установить, какую тройку образуют векторы , , .
-
Используя условие компланарности векторов, проверить, лежат ли следующие точки А, В, С, D в одной плоскости:
1) , , , ;
2) , , , .
-
Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .
-
В пирамиде с вершинами А, В, С, D найти длину высоты, проведенной из вершины D к грани ABС:
1) , , , ;
2) , , , .
-
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §3], [2, гл. 2, §2.13–2.17], [3, гл. 1, §1.13].
-
Показать, что четырехугольник АВСD есть параллелограмм, и найти его площадь, если , , , .
-
Определить площадь с вершинами в точках , , .
-
Упростить выражение (++)×(+–).
-
Решить уравнение ×=, если известны , и первая координата вектора равна 0.
-
Найти значение выражения , где – правый ортонормированный базис.
-
Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.
-
Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .
-
Прямая на плоскости
Цель занятия: усвоение способов задания прямой на плоскости, выработка навыков решения задач, связанных с прямыми на плоскости.
-
Основные способы задания прямых на плоскости
Считаем, что на плоскости задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки обозначаем . Основополагающий результат о задании прямой на плоскости заключается в следующем.
-
Теорема. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида
. (12)
Наоборот, любое уравнение вида (12) задает на плоскости некоторую прямую.
Заметим, что вектор ортогонален прямой (12) и называется нормальным. Уравнение (12) называют общим уравнением прямой. Различные модификации уравнения (12) связаны с различными способами задания прямых. Для успешного решения задач о прямых на плоскости необходимо усвоить следующие основные способы задания прямых.
-
Прямая определяется одной своей точкой и нормальным вектором . Её уравнение имеет вид:
. (13)
-
Прямая определяется двумя своими точками и . Её уравнение имеет вид:
или . (14)
Число во втором выражении (14) называется угловым коэффициентом прямой . Известно, что , где – угол между прямой и осью (или между и вектором ).
-
Прямая определяется одной своей точкой и угловым коэффициентом . Её уравнение имеет вид:
. (15)
-
Прямая определяется одной своей точкой и вектором , параллельным . Её уравнение имеет вид:
. (16)
Вектор называется направляющим вектором прямой , а равенство (16) называют каноническим уравнением прямой L.
-
Если известна точка прямой и её направляющий вектор, то она может быть задана параметрическими уравнениями:
(17)
где параметр, .
Пусть заданы две прямые : и : . Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых:
1) они совпадают, если ;
2) они параллельны, если ;
3) они пересекаются, если .
Угол между прямыми и удобнее всего находить как угол между их направляющими векторами. Если же известны угловые коэффициенты и прямых и, то угол между ними можно найти по формуле
. (18)
-
Пример. Даны две вершины , треугольника и точка пересечения его высот (рисунок 6). Найти: уравнения сторон , СА и СВ, внутренний угол при вершине С, координаты точки С.
Решение.
1 Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки (см. формулу (13)), получим уравнение стороны :
или .
Далее, так как , а , то запишем уравнения сторон СА и СВ в виде (13), где нормальный вектор к прямой, а фиксированная точка на ней. Учитывая, что и имеем
, ();
, ().
2 Угол при вершине С есть угол между сторонами и , который можно определить воспользовавшись выражением (18). Для этого запишем уравнения этих сторон в виде (15), т.е.:
;
.
В этом случае согласно формуле (15) имеем , и в соответствии с (18) имеем или .
3 Для нахождения координат точки С составляем систему уравнений
Решая ее, получаем .
-
Пример. Задана прямая . Найти расстояние от точки до данной прямой.
Решение. Прежде всего проверим принадлежит ли точка данной прямой . Имеем , значит . Для нахождения расстояния от до воспользуемся скалярным произведением векторов. На прямой выберем произвольно точку , например . Тогда расстояние от до есть длина отрезка , .
Длину отрезка выразим с помощью скалярного произведения вектора и нормального вектора прямой (рисунок 7). Имеем
, т.е. . (19)
В соответствии с формулой (19) получаем
.
Указанный способ нахождения расстояний применим и в случае плоскости, и в случае прямой в пространстве. В этом смысле он универсален, и мы рекомендуем применять его во всех аналогичных ситуациях.