- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Скалярное произведение векторов
-
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или , равное , – угол между и . Итак,
-
, . (5)
Основные свойства скалярного произведения:
1) =; 3) ; 5) =0.
2) ==; 4) =+;
Если векторы и заданы в ортонормированном базисе , то можно записать скалярное произведение с помощью координат этих векторов:
. (6)
Угол между векторами:
. (7)
-
Определение. Проекцией вектора на вектор называется число
, (). (8)
С учетом (7) данную формулу можно записать в виде
Числа
; ; ;
называются направляющими косинусами вектора .
Приложения скалярного произведения в механике и физике связаны с понятием работы постоянной силы. Если материальная точка, на которую действует сила , переместилась из положения в положение , то работа равна скалярному произведению .
-
Пример. Найти скалярное произведение (3–2)(5– 6), если .
Решение. Согласно свойствам (1–4), (3–2)(5–6)=15– –10+12=15 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
-
Пример. Найти угол между векторами = (3, 4, 5), = (4, –5, 3).
Решение. По формуле (7) получаем
-
Пример. Доказать, что векторы = (1,2,3), = (8, –1, –2) перпендикулярны.
Решение. По формуле (6) находим: . Следовательно, по свойству (5) векторы и перпендикулярны.
-
Упражнения
-
Найти координаты линейной комбинации векторов и , если
-
1) , , ;
2) , , .
-
Векторы и лежат в одной плоскости, известны их координаты в некотором базисе этой плоскости. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
1) , , ;
2) , , .
-
Даны векторы , , . Показать, что векторы образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в «старом» базисе , если
1) , ; 2) , .
-
Векторы , заданы своими координатами в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .
1) , , , ;
2) , , , .