План розв’язання задач за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи

1. Показати на рисунку всі зовнішні і внутрішні сили. У випадку незмінної механічної системи – тільки зовнішні сили.

2. Визначити кінетичну енергію механічної системи в початковому і кінцевому положеннях системи.

3. Обчислити алгебраїчну суму робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил на переміщеннях точок системи. В випадку незмінної механічної системи – тільки суму робіт зовнішніх сил.

4. Користуючись результатами обчислень пунктів 2 і 3 , написати теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи і визначити шукану величину.

Приклад виконання завдання д-10

Завдання Д-10.

Механічна система під дією сил ваги починає рухатися зі стану спокою; початкове положення системи показано на рис.1. Враховуючи тертя ковзання тіла 1 і опір коченню тіла 3, яке котиться без ковзання, нехтуючи іншими силами і масами ниток, які вважаємо нерозтяжними, визначити швидкість тіла 1 в той момент, коли пройдений ним шлях буде дорівнювати S.

рис.1

Дано: маси тіл системи: Коефіцієнт тертя ковзання тіла 1 по площині: f=0,2. Шлях, пройдений тілом 1: S=1,5м. Радіуси великого і малого кола тіла 2: =15 см, =5 см. Радіус інерції тіла 2 відносно осі обертання: =10 см. Тіло 3 – однорідний циліндр радіуса =40 см.

Коефіцієнт тертя кочення тіла 3: δ=0,2 см. Кути: α=60^о, β=30^о.

Розв’язання.

1. Для розв’язання задачі застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи:

(1)

Для заданої механічної системи, яка складається з абсолютно твердих тіл, з’єднаних нерозтяжними нитками, алгебраїчна сума робіт внутрішніх сил дорівнює нулю.

Оскільки в початковому положенні механічна система знаходиться в стані спокою, то Т_о=0.

Остаточно рівняння (1) приймає вид:

(2)

Для визначення кінетичної енергії Т і суми робіт зовнішніх сил треба зобразити механічну систему в кінцевому положенні (рис.2).

рис.2

Запишемо залежності між кінематичними характеристиками тіл системи, виразивши їх через швидкість і переміщення тіла 1. Тіло1 здійснює поступальний рух зі швидкістю і проходе шлях S. Блок 2 здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю

Коток 3 здійснює плоско паралельний рух.

Точка Р є миттєвим центром швидкостей

З кінематики відомо, що

Тоді, з приведених вище формул, маємо:

або

Після інтегрування (при нульових початкових умовах) маємо:

2. Обчислимо кінетичну енергію механічної системи в її кінцевому положенні:

(3)

Кінетична енергія тіла 1, яке здійснює поступальний рух:

Кінетична енергія блока 2, який здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі:

.

Кінетична енергія котка 3, який здійснює плоско паралельний рух:

Підстановка результатів в формулу (3):

(4)

3. Покажемо на рис.2 усі зовнішні сили, що діють на тіла системи і визначимо їх роботу на заданому переміщенні. До тіла 1 прикладені:

, тому, що ця сила перпендикулярна до переміщення.

, тому, що ці сили прикладені до нерухомої точки О.

До тіла 3 прикладені:

Момент пари сил опору коченню котка 3:

, тому, що ці сили прикладені в точці Р, яка є миттєвим центром швидкостей тіла 3.

Обчислимо алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил на заданому переміщенні:

(5)

4. Підставимо результати обчислень, що визначаються співвідношеннями (4) і (5) в розрахункову формулу (2) і знайдемо шукану величину швидкості тіла 1:

або

Звідки

Відповідь: = 2,9 м/с.