Приклад виконання завдання д-6

Завдання Д-6.

Кулька, яку сприймаємо за матеріальну точку, рухається з положення А усередині трубки, вісь якої знаходиться в вертикальній площині (рис.1). Знайти швидкість кульки в положеннях В, С, Д, Е і силу тиску кульки на стінку трубки в положенні С. Силами тертя на криволінійних ділянках траєкторії знехтувати. Додатково визначити максимальне стиснення пружини.

рис.1	Дано: маса кульки: m =0,1 кг. Швидкість кульки в положенні А: =1 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання на прямолінійних ділянках АВ і ВD: f= 0,2. Довжина ділянки АВ: S=2 м. Час руху кульки на ділянці ВD: τ=0,5 с. Відстань від центра кола до кульки на криволінійній ділянці траєкторії: R=1 м. Коефіцієнт жорсткості пружини: c= 0,1 Н/см=10Н/м.
рис.2		Розв’язання. Покажемо сили що діють на кульку (рис.2). 1. На ділянці АВ на кульку діють: сила ваги нормальна реакція і сила тертя ковзання . Для визначення швидкості кульки в положенні В застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки:

2. Ділянка ВD.

Для визначення швидкості кульки в положенні D застосуємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки (рис.2):

3. Ділянка СD.

На криволінійній ділянці СD на кульку діють сила ваги і нормальна реакція стінки трубки, яка напрямлена по головній нормалі, тобто по перпендикуляру до дотичної. Отже, роботу здійснює тільки сила ваги.

Для визначення швидкості кульки в положенні С застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2):

4. Ділянка СЕ.

Для визначення швидкості кульки в положенні Е застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2):

5. Для визначення реакції стінки трубки в положенні С застосуємо основне рівняння динаміки матеріальної точки в проекції на головну нормаль (рис.2):

Згідно з аксіомою взаємодії сила тиску кульки на стінку трубки в положенні С за числовим значенням дорівнює знайденій реакції і напрямлена в протилежну сторону.

6.Ділянка ЕК.

Для визначення максимального стиснення пружини застосуємо на ділянці ЕК теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рис.2). При максимальному стисненні пружини швидкість кульки в положенні К дорівнює нулю.

Після підстановки числових значень величин отримаємо квадратне рівняння відносно h:

Розв’язання цього квадратного рівняння має вид:

.

Візьмемо в якості шуканої величини додатний корінь квадратного рівняння:

Відповідь: = 3,7 м/с; =6,6 Н;

=5,3 м/с; h = 0,58 м.

=7,7 м/с;

=7,4 м/с;