Приклад виконання завдання д-1

Завдання Д-1.

Тіло рухається з точки А з початковою швидкістю по ділянці АВ довжиною ℓ похилої площини, яка утворює з горизонтом кут α (рис.1). Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині дорівнює f. Через τ секунд тіло в точці В зі швидкістю покидає похилу площину і падає на горизонтальну площину в точку С зі швидкістю ; при цьому воно знаходиться в повітрі Т секунд (рис.1).

При розв’язанні задачі сприйняти тіло за матеріальну точку і не враховувати опір повітря.

рис.1

Дано: =20 м/с f = 0,1 α =30^о τ =2 с h =10 м Визначити: , ℓ, d, T, , рівняння траєкторії точки на ділянці ВС.

Розв’язання.

1. Розглянемо рух тіла на ділянці АВ (рис.1). Сприймаючи тіло за матеріальну точку, покажемо діючі на нього сили: силу ваги , нормальну реакцію і силу тертя ковзання . Складемо диференціальні рівняння руху точки на ділянці АВ:

З рівняння (2):

Підставимо значення F в рівняння (1), приймаючи до уваги, що :

або

Будемо двічі інтегрувати отримане диференціальне рівняння руху точки:

(3)

(4)

Для визначення сталих інтегрування скористаємося початковими умовами руху точки:

при .

З рівнянь (3) і (4):

Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (3) і (4):

Рівняння (3') описує залежність швидкості точки від часу.

Рівняння (4') описує залежність координати точки від часу, тобто (4') – це рівняння руху точки вздовж осі х₁.

Для моменту τ, коли тіло покидає ділянку АВ,

З рівнянь (3') і (4') маємо:

З цих рівнянь знайдемо шукані величини: =8,5 м/с, ℓ=28,5 м.

2. Розглянемо рух тіла на ділянці ВС (рис.1).

Покажемо силу ваги , що діє на тіло, і складемо диференціальні рівняння його руху:

Таким чином, диференціальні рівняння руху точки на ділянці ВС мають вид:

Будемо інтегрувати двічі кожне з цих диференціальних рівнянь:

Початкові умови руху точки на ділянці ВС:

при t=0

З рівнянь (7), (8), (9), (10), маємо:

Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (7), (9) і (8), (10).

Рівняння (7') і (9') – це проекції вектора швидкості точки на осі координат.

Рівняння (8') і (10') – це рівняння руху точки.

3. Для визначення рівняння траєкторії точки на ділянці ВС треба виключити з рівнянь руху параметр t.

З рівняння (8') : . Підставимо значення t в рівняння (10') :

. (11)

Підставивши числові значення в рівняння (11) і зробивши обчислення, отримаємо рівняння траєкторії точки:

4. В момент падіння в точку С:

З рівняння (11) маємо: або

, або

Оскільки траєкторією руху точки є вітка параболи з додатними абсцисами її точок, то d=14,24 м.

5. Час Т руху точки на ділянці ВС знайдемо з рівняння (8’), приймаючи до уваги, що при :

або

6. З рівнянь (7') і (9') знайдемо проекції швидкості точки на осі координат в момент падіння в точку С, тобто при :

.

Швидкість точки в момент падіння в точку С визначимо за формулою:

Відповідь: =8,5 м/с, ℓ=28,5 м, , d=14,24 м, Т=1,9 с, = 16,1 м/с.