Приклади виконання завдання к-3.

Умова задач 1, 2, 3. Знайти для заданого положення механізму швидкості і прискорення точок В і С, а також кутову швидкість і кутове прискорення ланки, якій ці точки належать.

Задача 1.

Дано: схема механізму в заданому положенні (рис.1); ОА=10 см, АВ=20 см,

АС=10 см, =2 рад/с, =3 рад/с².

	Розв’язання. Тіло ОА здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі О. Тіло АВ здійснює плоско паралельний рух. Повзун В здійснює прямолінійний поступальний рух вздовж горизонтальної напрямної. Таким чином, вектори швидкості і прискорення точки В будуть напрямлені вздовж горизонтальної напрямної.
Визначення швидкостей точок В і С і кутової швидкості ланки АВ (рис.2). Знайдемо швидкість точки А: cм/с, . Миттєвий центр швидкостей PAB ланки АВ знаходиться в точці перетину перпендикулярів, проведених з точок А і В до векторів швидкостей цих точок. Знайдемо відстань від точок А, В і С до миттєвого центра швидкостей PAB. З трикутника АВРАВ: ,
	cм, З трикутника АСРАВ знайдемо СРАВ за теоремою косинусів: см. Знайдемо кутову швидкість ланки АВ: , рад/с. Швидкості точок В і С: см/с. см/с. . 2. Визначення прискорень точок В і С і кутового прискорення ланки АВ (рис.2). Знайдемо прискорення точки А: , см/с^2, см/с^2, . Згідно з теоремою про прискорення точок плоскої фігури:

. (1)

Знайдемо числові значення векторів прискорень:

см/с², см/с², см/с², .

Вектор направлений від точки А до осі обертання О. Вектор направлений перпендикулярно до ОА в напрямку . Вектор напрямлений від точки В до полюса А. Вектор перпендикулярний до прямої АВ. Вектор лежить на горизонтальній напрямній. Побудуємо в точці В векторний многокутник згідно з векторною рівністю (1) (рис.2).

Виберемо осі координат, як показано на рис.2, і спроектуємо векторну рівність (1) на ці осі:

(2)

(3)

З рівності (2): см/с².

З рівності (3): см/с².

Кутове прискорення ланки АВ: рад/с².

Напрям прискорення відносно полюса А визначає напрям кутового прискорення (рис.2). В нашому випадку і мають однаковий напрям (проти руху стрілки годинника), тобто ланка АВ обертається прискорено. Вектори швидкості і прискорення точки В мають протилежні напрямки (рис.2), тобто повзун В рухається сповільнено.

Визначимо прискорення точки С:

, (4)

см/с², см/с²,

см/с², см/с².

. Прискорення точки С знаходимо способом проекцій. Спроектуємо векторну рівність (4) на осі х і у :

см/с²

см/с²

см/с²

Вектор прискорення точки С будуємо по його проекціях (рис.2).

Відповідь: =17,3 см/с; =41,0 см/с²;

=18 см/с; =44,6 см/с²;

=0,5 рад/с; =0,98 рад/с².

Задача 2.

Дано: схема механізму в заданому положенні (рис.1); колесо 1 нерухоме; колесо 2 котиться без ковзання; ОА=30 см, r=10 см, =2 рад/с, =3 рад/с².

Розв’язання.

1. Визначення швидкостей точок В і С і кутової швидкості колеса 2 (рис.2).

Знайдемо швидкість точки А: cм/с, .

Колесо 2 котиться без ковзання по нерухомій поверхні колеса 1. Миттєвий центр швидкостей колеса 2 знаходиться в точці Р (рис.2). Знайдемо кутову швидкість колеса 2: , рад/с.

Відстані від точок В і С до миттєвого центра швидкостей, точки Р:

BP=2·r=20 см, С см.

Швидкості точок В і С:

см/с,

см/с. .

2. Визначення прискорень точок В і С і кутового прискорення колеса 2 (рис.2).

Знайдемо прискорення точки А:

, см/с²,

см/с², .

Згідно з теоремою про прискорення точок плоскої фігури:

. (1)

Знайдемо числові значення векторів прискорень:

см/с², см/с²,

см/с², см/с²,

, рад/с².

Прискорення точки В знаходимо способом проекцій. Спроектуємо векторну рівність (1) на осі х і у (рис.2):

см/с²,

см/с²,

см/с².

Згідно з теоремою про прискорення точок плоскої фігури:

, (2)

см/с², см/с²,

см/с², см/с².

Спроектуємо векторну рівність (2) на осі х і у (рис.2):

см/с²,

см/с²,

см/с².

Вектори прискорень точок В і С будуємо по їх проекціях (рис.2).

Відповідь: =120 см/с; =512,6 см/с²;

=84,6 см/с; =451,0 см/с²;

=6 рад/с; =9 рад/с².

Задача 3.

Дано: схема механізму в заданому положенні (рис.1); ОА=30 см, r=10 см, =2 рад/с, =0, =4,5 рад/с, =0.

1. Визначення швидкостей точок В і С і кутової швидкості колеса 2 (рис.2).

Знайдемо швидкості точок А і D:

см/с, см/с.

Миттєвий центр швидкостей колеса 2 знаходиться в точці Р (рис.2).

Знайдемо кутову швидкість колеса 2:

, ,

рад/с, см, BP=AP-r=20-10=10 см, см.

Швидкості точок В і С:

см/с, см/с, .

2. Визначення прискорень точок В і С і кутового прискорення колеса 2 (рис.2).

Знайдемо прискорення точки А:

,

см/с², , см/с².

Згідно з теоремою про прискорення точок плоскої фігури:

, (1)

, см/с²,

см/с², ,

.

Спроектуємо векторну рівність (2) на осі х і у (рис.2):

см/с², , см/с².

Згідно з теоремою про прискорення точок плоскої фігури:

, (2)

, см/с², см/с², .

Спроектуємо векторну рівність (2) на осі х і у (рис.2):

см/с², см/с²,

см/с².

Вектори прискорень точок В і С можна побудувати по їх проекціях на осі х і у.

Відповідь: =30 см/с; =210 см/с²;

=67,2 см/с; =150 см/с²;

=3 рад/с; =0.

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,

необхідні для виконання завдання К-7

Визначення абсолютної швидкості і

абсолютного прискорення точки

Складний рух точки

Складний рух точки – це такий рух точки, який досліджується одночасно в нерухомій і рухомій системах координат.

Розглянемо рух точки М відносно системи рухомих осей координат Охуz, які в свою чергу рухаються відносно осей О₁х₁у₁z₁. Систему осей О₁х₁у₁z₁ вважатимемо нерухомою (рис.1). Рухома система координат Охуz жорстко зв’язана з тілом D по якому рухається точка М.

1. Рух точки М відносно нерухомих осей координат О₁х₁у₁z₁.називається абсолютним рухом.

Рівняння абсолютного руху точки М: .

Абсолютною траєкторією точки М називають її траєкторію відносно нерухомих осей координат.

Абсолютною швидкістю і абсолютним прискоренням точки М називають швидкість і прискорення точки відносно нерухомої системи координат.

2. Рух точки М відносно рухомої системи координат Охуz називається відносним рухом. Рівняння відносного руху точки М: ..

Відносною траєкторією точки М називають її траєкторію відносно рухомої системи координат.

Відносною швидкістю і відносним прискоренням точки М називають швидкість і прискорення точки відносно рухомої системи координат (від лат. relativus- відносний).

3. Переносним рухом точки М називається рух відносно нерухомої системи координат тієї точки рухомої системи координат, з якою в даний момент збігається точка, що рухається.

Переносною швидкістю і переносним прискоренням точки М називають швидкість і прискорення тієї точки рухомої системи координат, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається (від лат. entainer- переносити).

4. Основна задача складного руху точки полягає в тому, щоб встановити залежності між кінематичними характеристиками абсолютного, відносного і переносного рухів.

Теорема про додавання швидкостей

Теорема. Абсолютна швидкість точки при її складному русі дорівнює векторній сумі відносної і переносної швидкостей

(1)

Теорема про додавання прискорень

(теорема Коріоліса)

Теорема. Абсолютне прискорення точки при її складному русі дорівнює векторній сумі відносного, переносного та коріолісового прискорень.

(2)

Модуль і напрям коріолісового прискорення

Коріолісове прискорення визначається за формулою

(3)

де – вектор кутової швидкості переносного руху;

– вектор відносної швидкості точки.

Коріолісове прискорення є результатом взаємного впливу двох рухів – переносного і відносного.

Модуль коріолісового прискорення визначається за формулою:

(4)

Напрям коріолісового прискорення знаходять за правилом визначення напряму векторного добутку (3).

Коріолісове прискорення може дорівнювати нулю в трьох випадках:

1. якщо, тобто при поступальному переносному русі;

2. якщо, тобто відсутній відносний рух;

3. якщо, тобто якщо вектори і паралельні.

Визначення відносної швидкості і відносного прискорення точки М

1. Якщо відносний рух точки заданий координатним способом, то:

, .

2. Якщо відносний рух точки заданий природним способом, то:

, , , .

Визначення переносної швидкості і переносного прискорення точки М

1. Якщо переносний рух поступальний (дивись рис.1), то:

, .

2. Якщо переносний рух обертальний, то:

, , , .

де МК – найкоротша відстань від точки М до осі обертання.

Модуль і напрям абсолютного прискорення точки М

Для визначення абсолютного прискорення застосовують метод проекцій. Для цього необхідно побудувати прямокутну систему осей з початком в точці М і проектуючи рівність (2) на кожну з цих осей, знаходимо:

, , .

Модуль абсолютного прискорення точки М знаходимо за формулою:

.

Напрям вектора абсолютного прискорення точки М знаходимо за напрямними косинусами:

, , .