Варианты заданий

1) cos x - 4x = 0 , 16) e ^–x - + 1,5 = 0,

2) x lnx - 14 = 0, 17) e ^–2x - + 1,8 = 0,

3) 10x - e^-x = 0, 18) cos x - x ³ = 0,

4) lnx - = 0, 19) e ^–x - 2,6x + 4,3 = 0,

5) lnx - = 0, 20)

6) x 2^x + x - 3,1 = 0, 21) e^x - x ² + 1,7 = 0,

7) e^x + 3x - 4,2 = 0, 22) x lnx - 5,3 = 0,

8) e^x +2,4x - 3,7 = 0, 23) x² lnx - 4,9 = 0,

9) cosx –3,6x +1,2 = 0, 24) x³ - 3x² + 7,5x + 1,7 = 0,

10) sinx - 2,3x - 2,8 = 0, 25) x³ - 2,5x² + 9,3x - 4,3 = 0,

11) sin2x + 5,2x + 0,3 = 0, 26) x lgx – 7,2 = 0,

12) e ^1,5x +3x - 4,5 = 0, 27) x² lgx – 3,8 = 0,

13) xlnx – 3,2 = 0, 28) e ^x - x² - 3,4 = 0,

14) x³ - 2x² + 3x – 5 = 0 29) e^-3x - +2,3 = 0,

15) sin3x - 2,5x + 6,2 = 0, 30) e ^–x - 3,4x + 5,7 = 0.

Лабораторная работа № 2

Метод хорд

Если корень находится в интервале [a,b], то для нахождения очередного приближения корня методом хорд этот интервал делят в отношении |f(a)|: |f(в)|. Тогда приближенное значение корня определится по формуле:

. (5)

Выбирается тот из интервалов [a,x] или [х,b], в котором функция меняет свой знак, и процесс уточнения корня повторяется. Оценка точности вычисления корня дается следующей теоремой [1].

Теорема. Пусть  — точный, а — приближенный корни уравнения f(x) = 0, находящиеся на одном и том же отрезке [a,b], причем |f ^'(x)|  m₁ > >0 при x [a,b]. В этом случае справедлива оценка

(6)

Оценку (6) можно использовать при любом приближенном способе решения уравнения (1). Точность вычисления корня по методу хорд можно определить, если известны два последовательных приближения корня. В этом случае справедлива оценка

(7)

при условии, что f ' (x) сохраняет знак в интервале [a,b], причем

0 < m₁  |f '(x)|  M₁ <  . (8)

При использовании неравенства (7) для оценки точности вычисления корня итерации по методу хорд нужно прекратить в том случае, когда выполнится неравенство

(9)

В неравенстве (9) используются значения m₁ и M₁, которые мож­но определить как

m₁ = (10)

M₁ = (11)

Пример. Пусть задано уравнение (2).

Решение. Значит, f(x) = 2^x + 4x - 3. Тогда Функция всюду положительная и монотонно возрастающая. В этом случае m₁ = f ' (0) = 4,693; M₁ = = 5,387. Если взять  = 0,0001, то условие (9) окончания итераций будет иметь вид

|x_n – x_n-1| < 0,0001.

Задание. Для одного из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, методом хорд вычислить значение корня с точностью  = 0,0001.

Лабораторная работа № 3

Метод Ньютона (метод касательных)

Уточнение корня (1) методом Ньютона производится по формуле

x_n+1 = x_n - (n = 0,1,… ...).

Предполагается, что корень уравнения находится в сегменте [а,b], в котором и непрерывны и сохраняют определенные знаки. Если за начальное значение х₀ выбрана такая точка сегмента [а,b], в которой то методом Ньютона можно найти корень с любой степенью точности. Для определения точности вычисления корня можно использовать оценку (6).

Пример. Пусть задано уравнение (2).

Решение. Корень находится в сегменте [0,1], f(0) < 0, f (1)>0, =2^x ln²2 > 0. Тогда при решении уравнения (2) методом Ньютона за начальное приближение можно взять точку х₀ = 1.

Задание. Методом Ньютона решить одно из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, с точноcтью  = 0,0001.

Лабораторная работа № 4

Видоизмененный метод Ньютона

В том случае, когда мало изменяется в сегменте [a,b], можно положить = . Тогда формулу Ньютона можно записать так:

x_n+1 = x_n - (n = 0,1,… ...).

Правило выбора начального приближения х₀ такое же, как и в методе Ньютона. Из неравенства (6) следует, что условием окончания итераций по видоизмененному методу Ньютона является

(12)

Задание. Видоизмененным методом Ньютона решить одно из уравне-ний, приведенных в лабораторной работе № 1, с точноcтью  = 0,0001.

Лабораторная работа № 5

Метод итерации

При методе итерации исходное уравнение (1) заменяется равносильным х = (х), а итерационный процесс уточнения корня описывается формулой

x_n+1 = (х_n) (n = 0,1,2,… ...). (13)

Существует бесконечное множество способов выбора функции (х). Нужно выбрать такую функцию (х), чтобы процесс итерации являлся сходящимся. Достаточные условия сходимости задаются теоремой.

Теорема. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [а,b], причем при х[а,b] (х)[а,b]. Тогда если существует такое число q, для которого |(х)  q < 1 при х  [а,b], то

1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х₀  [а,b];

2) предельное значение  = lim x_n при n   является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b].

Для определения точности вычисления корня можно воспользоваться следующей оценкой:

(14)

Из оценки неравенства (14) следует условие прекращения итераций

.

Пример. Пусть задано уравнение 2^х + 4х – 3 = 0. Корень   [0,1].

Решение. Запишем уравнение в виде . В таком случае . Эта функция является монотонно убывающей. Имеем (0) = 0,5; (1) = 0,25. Поэтому (х)[0,1] при х[0,1]. Производная '(x) = -ln2. Тогда max '(x) = -'(1)   0,347 при x[0,1].

В этом примере q  0,347, условия теоремы о сходимости метода итераций выполняются, если будем их производить по формуле За начальное приближение х₀ можно взять любое значение из сегмента [0,1], например х₀ = 0,5.

Уравнение (2) можно также записать в виде В этом случае а тогда Для этой функции условия о сходимости метода не выполняются, а поэтому процесс итераций может не сойтись.

Задание. Методом итерации решить одно из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, с точночтью  = 0,0001.