Варианты заданий

;    ;

; _{; ;}

_;

_{; ; ;}

_{; ;}

                                    

_;

Лабораторная работа № 15

Квадратурная формула трапеций

Более точной по сравнению с формулой прямоугольников является формула трапеций

(17)

Остаточный член формулы (17) имеет вид:

(18)

Из (18) следует оценка точности

(19)

где

х[а,b]

При вычислении интеграла по формуле (17) с точностью  величину h нужно выбрать такой, чтобы

(20)

Пример. Вычислить значение интеграла по квадратурной формуле трапеций с точностью  = 0,0001.

Решение. Имеем Для определения возьмем третью производную .

Так как положительна в интервале (0;1), то максимум и минимум достигаются на границе области. Имеем . Таким образом М₂ = 2. Запишем неравен­ство (20) в виде В нашем случае получим Отсюда следует, что n  48,8. Можно взять n = 49.

Задание. С помощью квадратурной формулы трапеций с точностью  = 0,0001 вычислить один из приведенных в лабо­ратор­ной работе № 14 интегралов.

Лабораторная работа № 16

Квадратурная формула Симпсона

Формула Симпсона имеет вид:

При программировании формулу Симпсона удобно записать в виде:

Остаточный член этой формулы определяется соотношением

Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью  по формуле Симпсона, нужно выбрать m таким, чтобы выполнялось неравенство

где

Часто подынтегральная функция такая, что у нее не существует необходимой для оценки точности производной или производные очень громоздкие и трудно найти их максимальные по абсолютной величине значения. В этом случае трудно воспользоваться соответствующими неравенствами для оценки точности вычисления интеграла. На практике часто применяется метод вычисления интеграла с половинным шагом.

При этом методе вычисляют по какой-либо квадратурной формуле значение интеграла с шагом h, затем — с шагом Если эти два значения отличаются друг от друга на величину, мень­шую , то вторая величина берется за приближенное зна­чение интеграла. В противном случае шаг берут вдвое меньше и снова вычисляют интеграл.

Вычисления заканчиваются в том случае, когда два прибли­женных значения интеграла, полученные для шагов h₁ и будут совпадать с точностью .

Задание. С помощью квадратурной формулы Симпсона с точностью  = 0,0001 вычислить один из приведенных в лаборатор­ной работе № 14 интегралов.

Лабораторная работа № 17

Квадратурная формула Гаусса

Для вычисления интегралов в пределах [-1,1] можно использовать квадратурную формулу Гаусса для n узлов, которая имеет вид

(21)

где t_i – нули полинома Лежандра n-й степени, который определяется формулой Родрига

Коэффициенты A_i и точки t_i подбираются так, чтобы формула (21) была точна для любого полинома степени 2n–1. Значения t_i и коэффициентов А_i для некоторых значений n приведены в табл. 3.

Таблица 3

n	i	ti	Ai
1	1	0	1
2	1;2	0,57735027	1
3	1;3	0,77459667 0	0,55555556 0,88888889
4	1;4 2;3	0,86113631 0,33998104	0,34785484 0,65214516
5	1;5 2;4 3	0,90617985 0,53846931 0	0,23692688 0,47862868 0,56888889

Для вычисления интеграла в произвольных пределах [a,b] квадратурная формула Гаусса имеет вид

(22)

где (i = 1, 2, ...…, n).

Остаточный член формулы Гаусса (22) с n узлами определя­ется формулой

(23)

Из (23), в частности, получаем:

Задание. По квадратурной формуле Гаусса для n = 3 и n = 5 вычислить один из приведенных в лабораторной работе № 14 интегралов. Сравнить результаты.

Лабораторная работа № 18

Метод Эйлера и его модификации

Рассмотрим некоторые численные методы решения дифференциального уравнения первого порядка

(24)

при заданном начальном условии

Решение ищут в сегменте [а,b], который разбивается на n равных частей. Численно решить уравнение (24) — значит найти значения функции y(x) в точках x_i = a + ih (i = 1,2,…...,n), где

В методе Эйлера формула для вычисления значения функции в последующей узловой точке имеет вид

Метод Эйлера является простейшим численным методом решения дифференциальных уравнений. Ему присущи недостатки:

— малая точность;

— систематическое накопление ошибки.

При численном интегрировании дифференциальных уравне­ний важным является вопрос определения точности полученных результатов. Для большинства численных методов нет простых и надежных оценок точности решения. Поэтому на практике для определения точности полученных результатов широко используется двойной пересчет задачи с шагом h и h/2. Количество совпа­дающих десятичных знаков определяет точность решения задачи.

Более точным по сравнению с методом Эйлера является усовер-шенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

а затем определяют по формуле

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера – Коши, при котором сначала определяется " грубое приближение " решения

а затем приближенно полагают

.

Задание. Методом Эйлера, усовершенствованным методом ло­маных и усовершенствованным методом Эйлера – Коши с шагом h решить одну из следующих задач Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.