- •Лабораторная работа № 1
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 6 Интерполирование функций
- •Лабораторная работа № 7 Интерполирование функций двух переменных
- •Лабораторная работа № 8 Метод золотого сечения
- •Лабораторная работа № 9 Метод Куммера
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 10 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона Пусть задана система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными
- •Лабораторная работа № 11 Решение систем нелинейных уравнений методом итерации
- •Лабораторная работа № 12 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Лабораторная работа № 13 Метод прогонки
- •Варианты заданий
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 20 Метод Милна
- •Лабораторная работа № 21 Метод Адамса
- •Лабораторная работа № 23 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта
- •Лабораторная работа № 24 Задача линейного программирования
- •Лабораторная работа № 25 Транспортная задача
- •Лабораторная работа № 26 Метод наискорейшего спуска
- •Лабораторная работа № 27 Метод дробления шага
- •Лабораторная работа № 28 Метод покоординатного спуска
- •Лабораторная работа № 29 Метод случайного поиска
- •Лабораторная работа № 30 Эмпирические формулы. Линейная зависимость
- •Лабораторная работа № 31 Решение краевой задачи методом сеток
- •Лабораторная работа № 35 Динамическое программирование
- •Корни нелинейных уравнений
- •Интерполирование функций
- •Двумерная интерполяция
- •Метод золотого сечения (лабораторная работа № 8)
- •Решение систем нелинейных уравнений (лабораторные работы №10— 11)
- •Решение систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом прогонки
- •Приближенные значения интегралов
- •Приближенные решения системы дифференциальных уравнений
- •Задача линейного программирования
- •Максимальная прибыль
- •Транспортная задача
- •Значения функции в точке минимума
- •Динамическое программирование
- •Список литературы
Лабораторная работа № 21 Метод Адамса
Этот метод применяется для решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Он очень похож на метод Милна. Здесь значения y4, y5,...… определяются по формулам:
— формула прогноза;
В этом методе контрольный столбец вычисляется по формуле
Здесь так же, как и в методе Милна, величину i можно добавлять к , а можно не добавлять. В первом случае вычисляется модификация , которая принимается за решение. Во втором случае за решение принимается величина
Задание. Методом Адамса решить одну из задач Коши, приведенных в лаборатороной работе № 18. Задачу решить двумя способами:
1) за решение принять величину , а значение не вычислять;
2) за решение принять величину.
На печать выводить (если оно вычисляется),. Начальные значения y1, y2 и y3 найти по формулам Рунге –Кутта.
Лабораторная работа № 22
Решение дифференциальных уравнений с помощью трехточечных дополнительных квадратурных формул
Метод решения дифференциальных уравнений с помощью трехточечных дополнительных квадратурных формул относится к классу методов прогноза и коррекции решения. Если известны решения уравнения в точках yi и yi+1, то значение решения в точке yi+2 определяется по формулам:
По величине i+2 приближенно определяют величину погрешности решения на данном шаге решения. Для начала счета, кроме начального условия, нужно знать ещё одно значение решения при x = a+h. Это значение находится методом Рунге—Кутта четвертого порядка на компьютере. Но тогда программа будет сложнее, так как придется программировать два метода.
Это значение можно вычислить вручную, путем разложения решения в ряд Тейлора, и, взяв несколько членов разложения, подсчитать у(a+h).
Решение дифференциального уравнения с помощью трехточечных дополнительных квадратурных формул требует приблизительно в два раза меньше машинного времени по сравнению с методом Рунге—Кутта четвертого порядка. Этот метод имеет контрольный столбец, позволяющий судить о точности полученного решения.
Составим программу решения уравнения y' = x2+y2, y(0)=1 с помощью указанных выше формул. Для начала счета нужно найти значение функции в точке x = h = 0,05.
Для этой цели разложим решение уравнения в ряд Тейлора, для чего найдем значения производных при х = 0. Так как y(0)=1, то из дифференциального уравнения следует, что y' (0) = 1,
y'' = 2x+2yy' , y'' (0) = 2,
y''' = 2+2 (y ')2+ 2y y'', y''' (0) = 8,
yIV = 6 y'y''+ 2yy''', yIV(0) = 28.
Ряд Тейлора для y(х) имеет вид
В нашем случае ряд будет таким:
Ограничиваясь пятью членами разложения с точностью = 106, найдем у(0,05) = 1,052674.
Задание. С помощью трехточечных дополнительных квадратурных формул решить одну из приведенных в лабораторной работе № 18 задач Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Начальное значение y2 вычислить методом Рунге–Кутта четвертого порядка. На печать вывести значения
Лабораторная работа № 23 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта
Пусть задана задача Коши для системы двух дифференциальных уравнений:
Выбирается шаг h > 0. Требуется найти решение системы в точках xi = x0 + ih (i = 1, 2, ..., n). Если считать известным решение в точке xi , то решение в точке xi+1 находится по формулам:
Метод является достаточно точным, не требует начального отрезка. Недостатком метода является то, что он не имеет контрольного столбца.
На практике этим методом рассчитываются значения функций с шагом h, а затем с шагом . Количество совпадающих цифр в значениях yi и zi характеризует точность решения.
Задание. Методом Рунге–Кутта с шагом h = 0,1 в интервале [0;1] решить систему дифференциальных уравнений
где k – номер фамилии студента в списке преподавателя. Затем решить систему с шагом h = 0,05 и результаты занести в массивы u и v, размерность которых равна 21. Вычислить значения i = = yi – u2i, i = zi – v2i (i = 0, 1, …..., 10). На печать выдать значения i, xi, yi, zi, i, i (i = 0, 1, ...…, 10).