Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;

D[X]=(2 – 3)²·0,3+(3 – 3)²·0,4+(4 – 3)²·0,3=0,6;

.◄

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Вероятность вынуть из урны белый шар р=0,6. Чтобы найти закон распределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли, для которой n=3.

.

.

.

.

Итак, закон распределения имеет вид

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Определим числовые характеристики случайной величины.

M[X]=0,288+0,864+0,648=1,8

D[X]= M[X²] – (M[X])²=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.

. ◄

3.Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной сумме очков при бросании двух костей

Решение. 1 способ. Используя результат примера 1 из раздела 8, получим

2 способ. Пусть – случайная величина, равная числу очков, выпавших на первой кости, а – случайная величина, равная числу очков, выпавших на второй кости. Сумма очков, выпавшая на обеих костях, есть случайная величина, равная .

Используя свойства математического ожидания и дисперсии ( и - независимые случайные величины) и результаты задачи 1 настоящего раздела, вычислим

,

. ◄

Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X	2	4	5	7
p	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти: а) математическое ожидание М(Х);

б) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение  (Х);

в) составить функцию распределения F(х) и построить её график.

Имеем: а) по формуле находим математическое ожидание Х: М(Х) = 2 × 0,2 + 4 × 0,1 + 5 × 0,3 + 7 × 0,4 = 5,1;

б) по формулам D(Х) = M (Х²) – [ M(Х)]² и найдём дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

= 2² × 0,2 + 4² × 0,1 + 5² × 0,3 + 7² × 0,4 = 29,5.

D(Х) = 29,5 – (5,1)² = 3,49 ; (Х) = = 1,87;

в) по определению F(x) = P(X < x ) , т.е. F(x) есть вероятность того, что случайная X примет значение меньше, чем х.

Если х  2, то F(x) = P(X < 2) = 0.

Если 2 < x  4, то F(x) = P(X < 4) = P(X=2) = 0,2.

Если 4< x  5, то F(x) = P(Х < 5) = P(X=2)+(X=4) = 0,2+0,1 = 0,3.

Если 5< x  7, то F(x) = P(Х<7)= P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,1+0,3 = 0,6.

Если x>7, то F(x) = P(Х<7) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=7) = = 0,2+0,1+0,3+0,4 = 1.

Построим график F(x):

◄

4. Моменты случайных величин. Пусть некоторое натуральное число.

Моментом порядка случайной величины называется число

.

Центральным моментом порядка случайной величины называется число

.

Ковариацией ( корреляционнным моментом) двух случайных величин и называется число

.

Свойства ковариации.

1. Для любых двух случайных величин и

2. Для любых случайных величин и

3. Для любых случайных величин , и

.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число

.

Корреляционный момент и коэффициент корреляции характеризуют степень линейной зависимости случайных величин.

Если ковариация или коэффициент корреляции двух случайных величин равны нулю, то такие величины называются некоррелированными.

Для любых двух случайных величин и

Из последней формулы следует важное свойство. Если случайные величины и некоррелированы, то

Свойства коэффициента корреляции

1. ,

где

2. , и , тогда и только тогда, когда существуют такие и , что .

3. Если случайные величины и независимы, то .

Обратное утверждение неверно, т.е. из равенства нулю корреляции не следует независимость случайных величин

Пример. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а – номер на втором шаре. Найти коэффициент корреляции и .