6 Лабораторная работа № 5. Исследование линейных электрических цепей однофазного синусоидального тока

Цель работы: определение параметров пассивных двухполюсников в электрической цепи однофазного синусоидального тока.

6.1 Основные теоретические сведения

6.1.1 Однофазный синусоидальный ток и величины его характеризующие

Периодический электрический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, называется однофазным синусоидальным током или просто синусоидальным током.

Синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи могут быть представлены выражениями

,     ,     , (1)

где , , — мгновенные значения этих величин, , , — соответствующие амплитудные значения, — угловая (циклическая) частота, — период синусоидальной функции, — линейная частота, , , — фазовые углы или фазы ЭДС, напряжения и тока, , , — соответствующие начальные фазы.

Графики синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и тока, имеющие одинаковый период изменения, но различные начальные фазы, приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Временные диаграммы синусоидальных токов, напряжений и ЭДС

Наряду с мгновенными и амплитудными значениями синусоидальный ток характеризуется также его действующими (эффективными) значениями:

,     ,     . (2)

Кроме того, функции , , могут быть представлены комплексными числами , , или изображены с помощью векторов , , , вращающихся с угловой скоростью . В первом случае мгновенные значения , , заменяют их комплексными значениями (комплексами), определяемыми как

,     ,     , (3)

где — мнимая единица, — формула Эйлера.

Пример векторного изображения синусоидальной величины приведен на рисунке 2, а. Здесь за начало отсчета углов выбрана ось , а вектор , изображающий ток , в начальный момент времени составляет с осью угол , в произвольный момент времени — угол . Проекция на ось для этого момента времени равна .

Тот же ток может быть изображен вектором на комплексной плоскости с осями и (рисунок 2, б). Проекция вектора на действительную ось согласно формуле Эйлера равна , на мнимую ось — . Так как все векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью , то их взаимное расположение остается неизменным для любого момента времени. Совокупность векторов на плоскости, изображающих ЭДС, напряжение и ток одной частоты, называется векторной диаграммой. Векторная диаграмма строится для момента времени , для амплитудных и действующих значений величин.

а)	б)
Рисунок 2 – Векторная диаграмма на плоскости с осями OM, ON (а) и на комплексной плоскости с осями +1, +j (б)

6.1.2 Пассивные двухполюсные элементы

Для учета процессов преобразования электрической энергии в схемы замещения цепей синусоидального тока вводят пассивные двухполюсные элементы: резистивный, индуктивный и емкостной. Основные сведения об этих элементах приведены в таблице 1, векторные диаграммы — на рисунке 3.

Таблица 1 – Пассивные двухполюсные элементы (основные сведения)

Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение		Резистивный	Индуктивный	Емкостной
Параметр		, сопротивление	, индуктивность	, емкость
Величина сопротивления		, активное	, индуктивное	, емкостное
Соотношение между током и напряжением (закон Ома)	для мгновенных значений
	для амплитудных значений
	для действующих значений

Продолжение таблицы 1

Напряжение на элементе
Ток в элементе
Соотношение между начальной фазой тока и напряжения	, совпадение по фазе	, отставание по фазе	, опережение по фазе

а)	б)	в)
Рисунок 3 – Векторные диаграммы токов и напряжений в двухполюсных элементах: резистивном (а), индуктивном (б) и емкостном (в)

При переменных значениях тока и напряжения скорость преобразования электрической энергии в цепи, то есть мощность, также изменяется. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

, (4)

где — угол сдвига фаз между напряжением и током.

Среднее значение мгновенной мощности за период переменного тока называется активной мощностью:

, (5)

величина — коэффициентом мощности. Из таблицы 1 следует, что в цепи с резистивным элементом угол сдвига фаз , а в цепи с индуктивностью или емкостью — . Поскольку , а , то активная мощность в резистивном элементе

, (6)

в индуктивном или емкостном элементах — . По этой причине энергетические процессы в реактивных элементах (конденсаторах, индуктивных катушках) характеризуют реактивной мощностью:

, (7)

а в произвольных двухполюсных элементах — полной мощностью:

. (8)

Связь между активной, реактивной и полной мощностями устанавливают соотношения

,     ,     . (9)

Из этих формул следует простой способ для экспериментального определения коэффициента мощности по показаниям амперметра, вольтметра и ваттметра:

. (10)

Двухполюсные элементы, представленные в таблице 1, являются идеализированными. Это означает, что каждый из них характеризуется только одним параметром — сопротивлением , индуктивностью , емкостью . Реальная катушка отличается от идеальной тем, что переменный ток в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием ее в другой вид, например, в тепло. Поэтому в схеме замещения реальная катушка должна быть представлена индуктивным и резистивным элементами (рисунок 4).

Рисунок 4 – Схема замещения индуктивной катушки	Рисунок 5 – Схема замещения конденсатора

В реальном конденсаторе наряду с изменением энергии электрического поля из-за несовершенства диэлектрика также наблюдается процесс преобразования электрической энергии в тепло. Это означает, что в схеме замещения реальный конденсатор должен быть представлен емкостным и резистивным элементами (рисунок 5).

Векторные диаграммы токов и напряжений в реальной катушке и реальном конденсаторе изображены на рисунке 6.

а)	б)
Рисунок 6 – Векторные диаграммы токов и напряжений в индуктивной катушке (а) и конденсаторе (б)

Из рисунка 6 следует, что в реальной индуктивной катушке угол сдвига фаз изменяется в пределах , в реальном конденсаторе — в пределах . Кроме того, согласно изображенным векторным диаграммам ток или напряжение любого пассивного двухполюсника можно представить в виде суммы активных (, ) и реактивных (, ) составляющих, причем

,     ,     , (11)

,     ,     . (12)

Аналогично полное сопротивление двухполюсника также может быть представлено в виде разложения на активную и реактивную составляющие сопротивления:

,     ,     , (13)

где полное сопротивление определяется отношением действующих значений напряжения и тока на входе цепи:

, (14)

а реактивное сопротивление — разностью индуктивного и емкостного сопротивлений:

. (15)

Используя выражения для и (см. таблицу 1), можно получить формулы для определения параметров и схем замещения двухполюсников:

,     . (16)

Активное сопротивление может быть определено как отношение активной мощности на зажимах двухполюсника к квадрату действующего тока:

, (17)

где величины , находят экспериментально с помощью амперметра и ваттметра.