Квадратичная аппроксимация

Для треугольного конечного элемента с шестью узловыми точками (рис. 2 .11) квадратичные пробные функции конструируются в виде

,

коэффициенты _i, _i, _i, _i,  _i и  _i определяются, как и в предыдущем случае, из условий

y

Рис. 2.11. Двумерный конечный элемент для квадратичной аппроксимации

k

n

i m

l j

x

Определители этой системы линейных алгебраических уравнений

,

,

,

,

, ,

позволяют вычислить искомые коэффициенты

,

,

,

,

,

.

На рис. 2 .12 показаны квадратичные пробные функции, определенные для треугольного конечного элемента.

_i _l _k

Рис. 2.12. Некоторые квадратичные пробные функции

на треугольном конечном элементе

Аналогично вычисляются коэффициенты для остальных пробных функций.

,

,

,

,

,

;

,

,

,

,

,

;

,

,

,

,

,

;

,

,

,

,

,

;

,

,

,

,

,

;

Четырехугольные конечные элементы

Для четырехугольных конечных элементов билинейные пробные функции конструируются в виде

,

причем коэффициенты _i, _i, _i и _i определяются из условий

В частном случае (рис. 2 .13), когда конечный элемент является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, пробные функции определяются выражениями

, ,

, .

_n y

k

Рис. 2.13. Пробная функция _n на четырехугольном конечном элементе

n

j

x i

Функции трех переменных

Для решения пространственных задач приходится строить пробные функции трех координатных переменных x, y и z. В простейшем случае конечный элемент представляет собой тетраэдр с четырьмя уздами i, j, k и n (рис. 2 .14), пробная функция, например _i, имеет вид

.

x_k, y_k, z_k

z

Рис. 2.14. Тетраэдральный конечный элемент для аппроксимации пространственных тел

x_n, y_n, z_n

y

x_j, y_j, z_j

x_i, y_i, z_i

x

Коэффициенты _i, _i, _i и _i, как и в предыдущих случаях, определяются из системы уравнений

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны

, , ,

, .

Искомые коэффициенты определяются выражениями

.

Следует отметить, что с помощью конечных элементов в виде тетраэдров могут быть представлены области в виде параллелепипедов (рис. 2 .15).

а б

Рис. 2.15. Представление параллелепипеда (а) с помощью набора тетраэдров (б)

x_s, y_s, z_s x_r, y_r, z_r

z x_p, y_p, z_p x_q,y_q,z_q

Рис. 2.16. Конечный элемент в виде параллелепипеда со сторонами, параллельными координатным осям

h_z

x_n, y_n, z_n x_k, y_k, z_k

y h_x h_y

x_i, y_i, z_i x_j, y_j, z_j

x

В случае (рис. 2 .16), когда конечный элемент является параллелепипедом со сторонами, параллельными координатным осям (h_x, h_y и h_z – размеры сторон параллелепипеда), пробные функции определяются выражениями

,

,

,

,

,

,

,

.