- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Сходимость метода конечных элементов
Рассматривается дифференциальное уравнение
, (1.31)
с граничными условиями
. (1.32)
Коэффициент a(t) считается непрерывно дифференцируемым на [0, 1], а коэффициенты c(t) и y(t) – непрерывными на [0, 1]. Пусть на отрезке [0, 1]
. (1.33)
Обобщенным решением задачи ( 1 .31) – ( 1 .32) называется функция , удовлетворяющая тождеству ( 1 .23) для всех , где в данном случае
,
.
Иными словами, тождество ( 1 .23) получается в результате скалярного умножения в уравнения ( 1 .31) на произвольную функцию и интегрирования по частям. Это позволяет понизить требования гладкости к функции x(t), одновременно повысив требования дифференцируемости функции v(t). В качестве координатной системы в выбирается система функций (рис. 1 .7)
Рис. 1.7. Вид функции i координатной системы
Для задачи ( 1 .31) – ( 1 .32) показано [18], что ее обобщенное решение в действительности принадлежит . Там же получена оценка, показывающая, что для всякой функции при
,
где Pm – проектор в H1(0, 1) на подпространство кусочно-линейных функций, натянутое на . Таким образом, из оценки теоремы 1.1 следует сходимость галеркинских аппроксимаций xm к точному решению задачи.
Контрольные вопросы и задания
-
Сформулируйте идею метода взвешенных невязок
-
Сформулируйте требования к пробным функциям, используемым в методе взвешенных невязок, и обоснуйте их необходимость
-
Сформулируйте требования к взвешивающим функциям, используемым в методе взвешенных невязок, и обоснуйте их необходимость
-
Какой смысл вкладывается в название слабая формулировка задачи?
-
Что представляет собой слабое решение задачи?
-
Какой смысл вкладывается в название обратная формулировка задачи?
-
При каком условии метод взвешивающих невязок приводит к поиску решения дифференциальной задачи только на границе?
-
Приведите классификацию методы взвешенных невязок.
-
При каких условиях метод моментов оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
При каких условиях метод Галеркина оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
При каких условиях метод наименьших квадратов оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
При каких условиях метод коллокаций оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
При каких условиях метод подобластей оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
При каких условиях метод конечных разностей оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
-
Аппроксимация функций
В классе методов, объединенных названием методы взвешенных невязок, применяются специальные процедуры аппроксимации функций, основанные на разложении в ряды по системам кусочно-гладких функций.
Функции одной переменной
Первоначально рассматриваются способы и алгоритмы аппроксимации функций с помощью кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций.
Кусочно-постоянные функции
Для определенности рассмотрим аппроксимацию функции на отрезке G = [0, 1]. Представим этот отрезок объединением , где , . На каждом из этих интервалов (рис. 2 .0) определим кусочно-постоянные пробные функции
Рис. 2.0. Пробные кусочно-постоянные функции
Представим заданную функцию f(x) в виде разложения
, (2.0)
причем в рассматриваемом случае, очевидно, m = 4. Взвесим погрешность
представления функции в области G, используя в качестве взвешивающих те же самые функции k,
.
Потребуем равенства нулю всех взвешенных на рассматриваемом отрезке погрешностей,
. (2.1)
Эти равенства представляют собой систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех искомых коэффициентов разложения ( 2 .0). В соответствии с выражением ( 2 .1) подсчитаем значения интегралов
, ,
.
Аналогично вычисляются остальные интегралы. Подстановка их значений в выражение ( 2 .1) приводит к системе четырех линейных алгебраических уравнений
(2.2)
Искомые коэффициенты разложения равны
Аппроксимация функции на отрезке [0, 1] с помощью представления ( 2 .0) показана на рис. 2 .1.
Рис. 2.1. Аппроксимация зависимости кусочно-постоянными пробными функциями