Иерархические многочлены
Введенные выше пробные функции обладают существенным недостатком. При необходимости аппроксимации заданной функции с использованием пробных функций более высокого порядка приходится полностью перестраивать систему линейных алгебраических уравнений, получаемую из соотношений ( 2 .1). Это видно из сравнения систем уравнений, получаемых при аппроксимации функции x2 кусочно-постоянными ( 2 .2) и кусочно-линейными (2.4) пробными функциями. Целесообразно так сконструировать систему пробных функций, чтобы при повышении порядка аппроксимации (за счет добавления функций более высокой степени) новая система алгебраических уравнений вида ( 2 .1) формировалась на основе уже имеющейся системы лишь за счет добавления к ней новых столбцов и строк. Построение такой иерархической системы многочленов для произвольного отрезка [xi, xj] начинается с уже известных линейных функций,
,
.
Следующая пробная функция строится на основе полинома второй степени,
.
Потребуем, чтобы в своем узле = 0 (xc) эта функция была равна 1, а в соседних узлах = -1 (xi) и = 1 (xj) – нулю, то есть
Решение этой системы уравнений определяет функцию
.
Коэффициенты разложения, стоящие при первых трех функциях, будут сохранять свой геометрический смысл, аппроксимируя значения исходной функции в точках xi, xj и xc, соответственно. Для четвертой функции используется кубический полином,
,
коэффициенты которого определяются решением системы уравнений
Отсюда следует, что четвертая функция имеет вид
.
Аналогично строится пробная функция
,
и так далее. Вид пробных функций этой системы показан на рис. 2 .8, а. На рис. 2 .8, б показан вид пробных функций еще одной иерархической системы,
;
;
для всех k > 2
Дифференцируя функции этой системы, получаем для четных номеров
,
для нечетных
.
Далее, как для четных, так и для нечетных
номеров,
.
Рис. 2.8. Примеры иерархических систем пробных функций на отрезке [xi, xj]
Это означает, что
то есть все производные, кроме одной, обращаются в нуль при = 0. Далее, для разложения ( 2 .0) получаем
.
Следовательно, при q > 2 коэффициент aq аппроксимирует значение производной q-го порядка от исходной функции в точке = 0.
В прикладных задачах математической физики при использовании методов взвешенных невязок часто встречаются интегралы вида
.
В этом случае удобно пользоваться полиномами Лежандра1
,
,
,
,
,
,
…,
для которых
.
Использование этих полиномов позволяет упростить формирование и решение системы алгебраических уравнений. Вид полиномов Лежандра приведен на рис. 2 .9.
Рис. 2.9. Система полиномов Лежандра на отрезке [xi, xj]
Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
Пусть вершины простейшего треугольного конечного элемента с вершинами i, j и k на плоскости имеют координаты {xi, yi}, {xj, yj}, {xk, yk} (рис. 2 .10). Для такого конечного элемента можно построить три пробные функции i(x, y), j(x, y) и k(x, y). Рассмотрим процедуру построения кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, в виде
.
Удобно для практических приложений сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какой-либо функции f(x, y) по этой системе функций i(x, y), j(x, y) и k(x, y), будут аппроксимировать значение f(x, y) в соответствующих узлах, как это было в предыдущем случае. Система уравнений относительно коэффициентов i, i и i имеет вид
y
Рис. 2.10. Кусочно-линейная пробная
функция i
на двумерном конечном элементе
i
j
x
Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны
,
,
,
.
Главный определитель
этой системы численно равен удвоенной
площади рассматриваемого треугольного
конечного элемента. Следует отметить,
что
лишь в том случае, когда нумерация вершин
треугольника производится в направлении,
противоположном движению часовой
стрелки. Искомые коэффициенты равны
.
Таким же способом строятся еще две пробные функции, j и k, обладающие аналогичными свойствами,
;
,
.