- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Процедура ансамблирования конечных элементов
Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений ( 3 .7):
Q0 q2
q3
q4
Q1
В итоге получена система восьми алгебраических уравнений с одиннадцатью неизвестными . Для замыкания системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса
(3.9)
Отметим, что внутренние переменные можно исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства ( 3 .9). Так, для двух первых систем уравнений получаем
Складывая второе и третье уравнения системы, с учетом ( 3 .9) получаем
Выполняя аналогичные преобразования для всех уравнений системы, приходим к системе пяти уравнений относительно пяти неизвестных
В матричной форме эта система уравнений имеет вид
. (3.10)
Рассмотрим неоднородную систему алгебраических уравнений ( 3 .7),
Легко проверить, что ее определитель равен нулю. Точно так же равен нулю определитель системы алгебраических уравнений ( 3 .10). Складывая покомпонентно оба уравнения последней системы, получаем выражение
, (3.11)
являющееся условием баланса тепла в отдельном конечном элементе: количество тепла, выделившееся за счет внутренних источников, должно быть выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решение которого может рассматриваться как температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения ( 3 .11) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при ) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо к принудительному отводу тепла из стержня (при ) и, соответственно, к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения ( 3 .11) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений ( 3 .0) – ( 3 .1), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.
Вырожденность системы уравнений на элементарном уровне ( 3 .7) приводит к вырожденности системы алгебраических уравнений ( 3 .10) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы ( 3 .10) приводит к балансовому соотношению . Несмотря на некорректность задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для нахождения численного решения. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце стержня поддерживается постоянная температура . Для учета этого граничного условия к полученной системе ( 3 .10) следует добавить уравнение
(искомый коэффициент T1, как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q0 на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными , имеющая ненулевой определитель,
На практике уравнение, содержащее неизвестный поток Q0, как правило, исключается из системы уравнений,
В дальнейшем, после определения всех узловых температур , исключенное из системы уравнение
может быть использовано для определения теплового потока
.
В матричной форме преобразованная система уравнений имеет вид
.
При решении прикладных инженерных задач на границе рассматриваемой области могут быть заданы условия конвективного теплообмена, когда на правом конце стержня тепловой поток равен
,
где – коэффициент теплоотдачи с поверхности в окружающую среду с температурой T , то есть имеет место граничное условие третьего рода,
.
Для включения этого граничного условия в полученную систему уравнений следует выполнить замену в последнем уравнении, учитывая, что :
,
.
В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений преобразуется к виду
. (3.11)
Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м; мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали = 70 Вт/мград, температура окружающей среды , , = 30 Вт/м2град. Система уравнений принимает вид
.
Решение этой системы
T1 = 100, T2 = 10557/112, T3 = 619/7, T4 = 9241/112, T5 = 153/2
в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи
.
Величина теплового потока на левом конце стержня
Вт/м2 .
Используя точное решение задачи, определяем производную
,
и, подставляя x = 0, находим точное значение теплового потока
Вт/м2 .