- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
Введение
История появления комплексных чисел начинается с попыток найти всевозможные корни квадратного уравнения, но наибольший интерес к ним возник в связи с проблемами интегрирования рациональных функций: возможно ли представление любого многочлена с действительными коэффициентами в виде произведений линейных и квадратичных выражений также с действительными коэффициентами. Лейбниц утверждал, что это не так (1702 год, переписка с И. Бернулли, см. [1]) и в качестве подтверждения приводил пример разложения на множители
утверждая, что никакая пара из найденных четырех множителей не может дать в произведении многочлен с действительными коэффициентами.
Однако, как нетрудно убедиться, заключение Лейбница ложно, поскольку. Поэтому проблема заключается в интерпретации выражений вида. Развитие теории комплексных величин дало ответ на этот вопрос.
Длительный срок становления теории комплексных чисел (почти сто лет) связан с путаницей, которую вносили в математические рассуждения два хорошо известных алгебраических правила:, , справедливые для действительных чисел. Эти правила позволяют трактовать по-разному:
или.
Лишь с середины восемнадцатого века в теории комплексных чисел наступает (современный) порядок, с введением в теорию в качестве аксиомы утверждения (Л.Эйлер). Интересно отметить, что в 1702 году отношение к комплексным числам мировой научной мысли было (сформулировано Лейбницем) как к «уродам из мира идей». Но в тридцатых годах восемнадцатого века комплексные числа прочно вошли в обиход передовых научных исследований, и к этому времени Эйлер практически завершил создание теории элементарных функций комплексного переменного («Введение в анализ бесконечно малых», 1748 год).
-
Алгебра комплексных чисел
Комплексным числом называется число z = x + iy, где x и y – действительные числа, и по определению положено. Число x называется действительной частью комплексного числа z, обозначается Re z, а число y называется мнимой частью числа z, обозначается Im z. При этом два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 считаются равными, если x1 = x2 и y1 = y2. Следует отметить необычную роль, которую играет знак « + » в определении комплексного числа. Этот знак разделяет x и y, и мог быть заменен, например, запятой, то есть комплексное число можно рассматривать как упорядоченную пару (x,y) действительных чисел (старое русское название комплексного числа - «комплект»). На множестве комплексных чисел алгебраические операции сложения и умножения определяются как для многочленов (двучленов):
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 ), z1 z2 = x1 x2 – y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1).
Роль комплексного нуля выполняет число 0 = 0 + i0 а роль комплексной единицы число 1 = 1 + i0. При этом очевидно, что для каждого элемента z противоположным элементом является комплексное число – z: z + ( – z) = 0. Легко проверяется, что в случае, если z 0 обратный элемент z – 1 (т.е. такой, что z · z – 1 = 1) единственным образом определяется по формуле, где. При этом действительное число называется модулем комплексного числа z, а комплексные числа z и – комплексно сопряженными друг к другу. Комплексное число можно рассматривать как расширение понятия действительного числа. Множество действительных чисел 1 можно рассматривать как подмножество множества комплексных чисел, которое обозначается символом .
При этом для комплексных чисел выполняются все основные законы справедливые для действительных чисел за исключением упорядоченности, то есть понятия «больше», «меньше» неприменимы к комплексным числам.