- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Примеры с решениями
В примерах 5.6 – 5.8 вычислить контурные интегралы.
Пример 5.6.
Решение. Согласно основной теореме о вычетах запишем
.
Полюсы подынтегральной функции и простые, поэтому можем воспользоваться формулой (5.5). В результате
Пример 5.7., где – эллипс
Решение. Точки , и есть полюсы второго порядка подынтегральной функции, причем
Найдем вычеты в этих точках. Имеем
;
По основной теореме о вычетах
Пример 5.8. Вычислить интеграл.
Решение. Точки и являются полюсами 2-го порядка, но точка лежит вне окружности, а потому
Рис. 14. График к примеру 5.8.
-
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти изолированные особые точки и определить их тип.
2. Найти вычеты в конечных особых точках функции:
3. Вычислить контурные интегралы.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9), где
-
Вычисление определенных интегралов от действительных функций
-
Интегралы типа
-
Пример 6.1
Решение. Введем переменную, тогда
, , и при изменении от 0 до переменная пробегает один раз окружность в положительном направлении.
.
Подынтегральная функция имеет две особые точки, которые являются полюсами 1-го порядка, причем внутри контура лежит только точка. По основной теореме о вычетах имеем
Пример 6.2. Показать, что интеграл для любой непрерывной функции f(x) равен 0, если.
Решение. Пользуясь периодичностью тригонометрических функций, получим
,
так как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.
Пример 6.3. Вычислить интеграл.
Решение. Воспользовавшись результатами примера 6.1, получим:
-
Вычисление несобственных интегралов второго рода
Формула для вычислений и условия для ее применения даются в теореме 15.1 лекций:
Пример 6.3.
Решение. Аналитическое продолжение подынтегральной функции имеет в верхней полуплоскости две особые точки и, которые являются полюсами первого порядка. Используя формулу (6.1), получаем
-
Вычисление интегралов вида
Сразу же отметим, что методика вычисления интегралов указанного вида применяется при нахождении интегральных преобразований Фурье () и Лапласа () функции. Мы рассмотрим указанные интегралы только для.
Формулы для вычислений и условия применения даются в теоремах раздела 16 лекций. При указанных в этом разделе условиях
.
Из (6.2), учитывая, что, , вытекают формулы
,
.
Пример 6.5. Вычислить интеграл
Решение. Нетрудно видеть, что аналитическое продолжение удовлетворяет всем условиям теоремы 16.1 лекций, а в верхней полуплоскости находится одна особая точка – простой полюс. Применяя формулу (6.3), получим
.
Пример 6.6. Вычислить интеграл.
Решение. В данном случае, прежде воспользуемся четностью подынтегральной функции, а затем применим формулу (6.4). Получим
.
Пример 6.7. Вычислить интеграл полагая , .
Решение. Вначале вычислим вспомогательный интеграл по контуру C, показанному на рис. 15. По теореме Коши 7.1 , так как подынтегральная функция является аналитической всюду в области интегрирования, ограниченной контуром C.
Поэтому
Рис. 15. Контур к примеру 6.7
Полагая , для интегралов, входящих в сумму, получим
1) по лемме Жордано 16.1;
2) ; 3) ; 4)
,
где гамма-функция (табулированная специальная функция). Окончательно . Выделяя действительную и мнимую части последней формулы, имеем
,