- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Степенные функции
Пусть. Соотношением
определены степенные ФКП. При степенная функция является однозначной или простой. В остальных случаях говорят об общей степенной функции.
Общей степенной функцией также называют функцию w = z a комплексной переменной z, где a - фиксированное комплексное число. Функция определяется соотношением (определение логарифмической функции будет дано далее). Общая степенная функция комплексной переменной, в отличие от простейших степенных функций комплексного переменного, является функцией многозначной.
-
Показательная функция
Как известно, функции действительного переменного ex, sin x, cos x раскладываются в степенные ряды, которые сходятся к этим функциям в любой точке действительной прямой. Из первой теоремы Абеля следует, что ряды, полученные заменой действительной переменной x на комплексную переменную z = x + iy, будут абсолютно сходится на и тем самым определят функции комплексного переменного, которым присваиваются те же названия и обозначения:
, ,.
Кроме того, из равенств, определяющих эти функции и соотношения
легко вытекает формула Эйлера
(3.1)
Из правила перемножения абсолютно сходящихся рядов (см.[2], стр. 642), следует и
.
Последнее равенство также можно принять за определение показательной функции комплексного переменного z. Важно подчеркнуть, что при таком определении легко проверяются известные для действительной переменной правила деления, умножения и возведения в степень. Также легко устанавливается новое свойство периодичности:. Геометрически это означает, что все точки z, расположенные на прямых, параллельных оси Оx и отстоящих друг от друга на расстояние, кратное 2 отображаются в одну точку комплексной плоскости w = u + i v.
-
Тригонометрические функции
Как и показательная, тригонометрические функции комплексного аргумента z определены соответствующими рядами, но гораздо удобнее воспользоваться формулой Эйлера (3.1) и определить их через показательную функцию:
, (3.2)
Эти формулы также называются формулами Эйлера. По аналогии с функциями действительного переменного
, (3.3)
Для тригонометрических функций комплексного переменного справедливы все формулы, справедливые для соответствующих функций действительного переменного. Для примера, исходя из формул (3.2) – (3.3), докажите равенства
sin2z + cos2z = 1, cos2z – sin2z = cos2z,
sin 2z = 2 sin z cos z,.
Замечание. Следует отметить, что найдутся такие значения комплексной переменной z, что |sin z| > 1 и |cos z| > 1. Таким образом, у функций комплексной переменной могут быть и существенные отличия от их действительнозначных аналогов.
-
Гиперболические функции
Используем показательную функцию для того, чтобы определить следующие функции комплексной переменной.
Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс
, , ,.
Из этих определений вытекают формулы:
sh(i z) = i sin z , sin(i z) = i sh z , ch(i z) = cos z , cos(i z) = ch z.
-
Логарифмическая функция
Эта функция определяется как обратная показательной: число w называется логарифмом числа z, если ew = z. Обозначение: w = Ln z. Представим это число в алгебраической форме. Полагая w = u + i v, одновременно имеем два равенства
z = ew = eu (cos v + i sin v), z = |z|(cos + i sin ).
Откуда |z| = eu u = ln |z|; v = + 2k, k = 0, 1, 2, … , где ln|z| – обычный логарифм действительного числа. Таким образом
Ln z = ln|z| + i (arg z + 2k). (3.4)
Это равенство примем за новое (равносильное первоначальному) определение логарифмической функции комплексного переменного. Как видим, в отличие от функции действительного переменного Ln z является многозначной функцией; значение при k = 0 называется главным значением или главной ветвью логарифмической функции в комплексной области и обозначается ln z:
ln z = ln|z| + i , = arg z, – < .
Основное функциональное свойство логарифмической функции
Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2 (3.5)
в комплексной области доказывается так же как и в действительной:. По определению логарифма из последнего равенства следует (3.5).
Отметим также свойства, вытекающие из определения логарифмической функции.