2. Простейшие преобразования графиков функций.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии. С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (рис.1) или оси Оу (рис.2) по заданному графику функции можно построить графики функций и . В первом случае любая точка A (x ; y) графика переходит в точку А(x + m ; f(x)), во втором в точку А(x; f(x) + n).

рис.1 рис.2

рис.3 рис. 4

С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно построить график функции (рис.3) или (рис.4). Для построения графика функции

у = аf(k(x-m)) + n последовательно применяют вышеуказанные преобразования.

Если функция – периодическая с периодом Т, то достаточно построить часть ее графика для , и тогда весь график получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки (рис.5).

Для построения графиков четных и нечетных функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значений аргумента.

Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции (рис.7). Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси абсцисс (рис.6).

рис.5 рис.6

рис.7 рис.8

Для построения графика функции следует учесть, что функция является четной, поэтому строим график функции при и отражаем полученный график относительно оси ординат.

Для построения графика функции нужно сначала построить график функции ,а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отразить относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком функции (рис.8).

3. Основные свойства и графики тригонометрических функций.

а) Свойства функции у = sin x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у) = R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у) = .

3. Функция нечетная: sin (–x ) = sin x для всех х R.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е.

sin (x+2)= sin x для всех х R.

5. sin x = 0 при x =k, kZ .

6. sin х >0 при x (2k ;+ 2k), kZ .

7. sin х<0 при x (+ 2k; 2+ 2k), kZ .

8. Функция возрастает от -1 до 1 на промежутке (-+ 2k; + 2k), kZ .

9. Функция убывает от 1 до -1 на промежутке (+ 2k; + 2k), kZ .

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x =+ 2k, kZ.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x = + 2k, kZ .

Используя свойства синуса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = sin x , строим график функции на всей числовой прямой.

б) Свойства функции у = соs x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у)=R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у)=

3. Функция четная: соs (–x )= соs x для всех х R.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е.

соs (x+2)= соs x для всех х R.

5. соs x = 0 при x =+ k, kZ .

6. соs x >0 при x (-+ 2k; + 2k), kZ .

7. соs x <0 при x (+ 2k; + 2k), kZ .

8. Функция возрастает от 1 до -1 на промежутке (-+ 2k; 2k), kZ .

9. Функция убывает от -1 до 1 на промежутке (2k ;+ 2k), kZ .

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = 2k, kZ.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное - 1, в точках x = + 2k, kZ .

Т. к. соs x =sin (x +), то график функции у = соs x получается параллельным переносом графика функции у = sin x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох.

Графики функций у = sin x и у = соs x называют синусоидой.

в) Свойства функции у = tg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = + k, kZ .

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: tg (–x )= - tg x для всех х из области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

tg (x+)= tg x для всех х из области определения.

5. tg x = 0 при x = k, kZ .

6. tg x >0 при x (k; + k), kZ .

7. tg x <0 при x (-+ k; k), kZ .

8. Функция возрастает на промежутках (-+ 2k;+ k), kZ .

Используя свойства тангенса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = tg x , строим график функции на всей числовой прямой.

График функции у = tg x называют тангенсоидой.

г) Свойства функции у = сtg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = k, kZ .

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: сtg (–x ) = - сtg x для всех х из области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

сtg (x+)= сtg x для всех х из области определения.

5. сtg x = 0 при x = + k, kZ .

6. сtg x >0 при x (k; + k), kZ .

7. сtg x <0 при x (-+ k; k), kZ .

8. Функция убывает на каждом из промежутков (k; +k), kZ .

Используя свойства котангенса, сначала строим его график на промежутке (0; ), т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = сtg x , строим график функции на всей числовой прямой.

График функции у = сtg x можно построить иначе: т.к. сtg x = - tg (x + ), то выполним параллельный перенос графика функции у = tg x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох и отобразим полученный график симметрично оси Ох.

4. Рассмотрим примеры построения графиков сложных функций элементарными способами:

Пример 1. Построить график функции: .

Функция четная. По определению арифметического квадратного корня .

Схема построения при :

1. ;

2. . Выполняем параллельный перенос первого графика на 2 единицы вдоль оси ординат и на одну единицу вдоль оси абсцисс;

3. Так как при , то областью определения исходной функции является промежуток .

Построим таблицу зависимости значений исходной функции от значений функции . Привозрастает, следовательно, возрастающей является и функция . Отобразим полученный график симметрично оси ординат.

x	f(x)	y
1,5	8
2	5
3	4,5
4	3

Пример 2. Построить график функции:

Функция четная.

Схема построения:

1) ;

2) – отражаем первый график относительно оси ординат;

3) . Часть второго графика, находящуюся под осью абсцисс, отражаем относительно ее. Полученная в верхней полуплоскости линия является требуемым графиком.

Пример 3. Построить график функции:

Так как , то . Построим таблицу зависимости от .

x	g(x)	y
1	0	-
2	1	0
4	2	-1
16	4	-2

При , следовательно, х = 1 является вертикальной

асимптотой.

Пример 4. Построить график функции: .

. Схема построения:

1. ; 2. – растягиваем график в 2 раза вдоль оси ординат;

3.

При график напоминает сжатую пружину, причем, чем меньше значение x, тем сильнее сжатие.

Построим таблицу:

y2 = 2 ln x	-	0
y = sin y2	-1	0	1	0	-1

5. Исследование функции с помощью производной. Непрерывность функции. Асимптоты.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х = а, если предел функции при равен значению функции при х= а:

Определение 2. Функция у = называется непрерывной в точке х = а, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.:

Если условие непрерывности функции в точке х = а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1) область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна во всех точка этого промежутка.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) возрастает на I. Если (x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) убывает на I.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): Если точка х является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная , то она равна нулю: ( х) = 0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а (x) > 0 на интервале (а; х) и (x) < 0 на интервале ( х;b), то точка х является точкой максимума функции f.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а (x) < 0 на интервале (а; х) и (x) > 0 на интервале (х;b), то точка х является точкой минимума функции f.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке, в котором она имеет конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах промежутка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

График дифференцируемой функции f(x) называется вогнутым вверх (вогнутым вниз) на интервале I, если отрезок кривой у = f(x) расположен выше (соответственно ниже) касательной, проведенной в любой точке этого отрезка.

Достаточным условием вогнутости в предположении существования второй производной (x) является выполнение неравенства (x) > 0 ((x) < 0) при х I.

Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Точка х, для которой (x) = 0 либо (x) не существует, есть точка перегиба, если (x) меняет свой знак при переходе через значение х.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее неограниченном удалении от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. График функции у = f(x) при имеет вертикальную асимптоту, если или ; при этом точка х= а есть точка разрыва II рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а (рис.1).

Горизонтальные асимптоты. График функции y=f(x) при или при имеет горизонтальную асимптоту, если или Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного. Тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b (рис.2).

у y у у

у=f(x)

y=f(x) у=f(x) х x

0 0 у=в

х=а x=a y=в

y=f(x) х 0

0

а) б) а) б)

рис.1 рис.2

Наклонные асимптоты. Пусть график функции y= f(x) имеет наклонную асимптоту

у = kx+b. В этом случае справедливы формулы для вычисления параметров k и b:

. (рис.3).

Следует отдельно рассматривать случаи и и в каждом из них определить знак разности f(x) – (kx + b). Если он будет «+», то кривая расположена над асимптотой, если «-», то под ней. Если же эта разность при и не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около своей асимптоты.

у y=f(x) y

y=f(x)

у=kx+b y=kx+b

x

0 х 0

a) б)

рис.3

6. Общая схема и следования функции.

I. 1. Область определения функции. Вертикальные асимптоты.

2. Четность, периодичность.

3. Нули функции. Точки пересечения графика с осями.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

II. Исследование с помощью производной.

1. Критические точки. Промежутки монотонности.

2. Экстремумы.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции. Область значений функции.

III. Исследование с помощью второй производной.

1. Выпуклость (вогнутость) графика.

2. Точки перегиба.

IV. Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Тема лекции 3. Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Тригонометрические функции связаны между собой многочисленными соотношениями.

Первая серия формул - основные тригонометрические тождества - описывает связь между функциями одного аргумента.

sin+ cos= 1,

tg = ,

ctg = ,

tg ctg = 1,

1+ tg= ,

1+ ctg= ,

sec = , cos ≠ 0,

cosec = , sin ≠ 0 .

Вторая серия – формулы приведения – происходит от симметрии и периодичности движения точки по окружности. Формулами приведения называются формулы, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов + , - ,

+ , - , + , - , 2+ , 2- выражаются через значения sin, cos , tg и ctg . Для облегчения запоминания этих формул нужно использовать следующие правила:

а) при переходе от функций углов + , - , + , - к функциям угла исходная функция изменяет название на кофункцию;

при переходе от функций углов + , - , 2+ , 2- к функциям угла название функции сохраняют;

б) перед полученной функцией ставят такой знак, какой имеет приводимая функция в исходной четверти, считая угол острым.

Третья серия – формулы сложения - получается при изучении поворотов.

sin ( +) = sin cos+ sincos

sin ( -) = sin cos- sincos

cos( +) =cos cos- sin sin

cos( -) =cos cos+ sin sin

Формулы сложения являются одними из основных формул, связывающих тригонометрические функции. Из них можно вывести различные следствия. Так, полагая =, получаем формулы удвоения. Применяя основное тригонометрическое тождество к преобразованию косинуса двойного угла, получаем формулы, используемые для понижения степени синуса или косинуса:

1+ cos2= 2 cos

1- cos2= 2 sin.

Используя правые части этих формул, легко вывести формулы для выражения тангенса половинного угла через синус и косинус.

Из формул двойных углов можно вывести формулы для синуса и косинуса половинного угла, но такие формулы часто неудобны, так как они содержат радикалы и при определении знака функции необходимо знать, в какой четверти лежит искомый угол.

Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом и тангенсом – есть соотношения, позволяющие по-разному написать одно и то же выражение. Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента x выражаются через тангенс половинного угла рационально, без квадратных корней:

sin x =,

cos x = .

tg x = .

При использовании этих формул необходимо учитывать область определения дробей и функций.

Пользуясь этими формулами, можно функцию вида у = a sinx+ b cosx + c представить в виде рациональной функции от tg, что, в частности, может быть удобным при решении уравнений вида a sinx+ b cosx + c = 0.

Формулы сложения синусов и косинусов:

sin + sin= 2 sin cos;

sin - sin= 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos;

cos + cos = 2 sin sin .

Формулы для преобразования произведений синуса и косинуса в сумму получаются из формул сложения синусов и косинусов:

sin x cos y = ( sin(x+y) + sin(x-y)),

sin x sin y = -( cos(x+y) + cos(x-y)),

cos x cos y = ( cos(x+y) + cos(x-y)).

Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.

Кроме названных формул, для тождественного преобразования тригонометрических выражений используется весь изученный ранее математический аппарат: способы разложения на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.

Несмотря на обилие формул, прослеживание взаимосвязей между ними, последовательности их выведения, выполнение большого числа тренировочных упражнений позволяют приобрести устойчивые навыки в их применении.

Тема лекции 4. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только в аргументе тригонометрической функции. Основная цель при решении тригонометрических уравнений состоит в преобразовании тригонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравнениям, которые решаются стандартным способом.

В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, применять различные идеи, прежде чем удастся найти тот путь, который приведет к цели. Успех в решении тригонометрических уравнений будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических формул и умений грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.

Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению нескольких простейших тригонометрических уравнений следующими методами:

- разложение на множители;

- введение новой переменной;

- введение вспомогательного угла;

- использование ограниченности функций y = sinx, y = cosx.

Важно отметить, что форма записи корней тригонометрического уравнения часто зависит от того, какой метод применяется для решения данного уравнения.

Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

sin x = а, где -1а1. x = (-1)arcsin a +n, nZ;

cosx = а, где -1а1. x =arcos a +2n, nZ;

tg x = а x = arctg a +n, nZ;

ctg x = а x = arcctg a +n, nZ.

Для решения уравнений вида sinx =а, cosx =а, tgx =а и ctgx =а удобны формулы:

sinx = а, x =arсsin +n, nZ;

cosx = а, x =arсcos +n, nZ;

tgx = а, x =arc tg +n, nZ;

ctgx = а, x =arcctg +n, nZ.

2.Алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

№	Вид уравнения	Способы решения
1	a sinx + b sin x + c = 0	y = sinx ay+ by + c = 0
2	a sinx + b cos x + c = 0	sinx = 1- cosx; y = cosx; приводим уравнение к квадратному относительно cos x
3	a tg x+ b сtg x + c = 0	сtg x = 1/ tg x; приведем уравнение к квадратному относительно tg x
4	a sin x + b cos x = c	1) введение вспомогательного угла: разделим обе части уравнения на и приведем уравнение к виду sin( x+) = с/, где sin=, cos=; 2) универсальная тригонометрическая подстановка: sin x =, cos x = ; далее приведем к квадратному уравнению относительно tg; 3) применением формул двойного угла sin2x = 2sinx cosx, cos 2x = cosx - sinx и тригонометрической единицы sin+ cos=1 приводим к однородному уравнению

3. Однородные уравнения:

а) a sin x + b cos x = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin+ cos= 1) и получаем простейшее уравнение относительно tg x;

б) a sinx + b sin x cos x + c cosx = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin+ cos= 1) и получаем простейшее уравнение относительно tgx и т.д.

4. Понижение степени уравнения.

Применение формул sin= ( 1- cos2) и cos= ( 1+ cos2) позволяет понизить степень уравнения с одновременным удвоением величины угла.

5. Преобразование уравнения с помощью тригонометрических формул:

а) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение с помощью формул

sin + sin= 2 sin cos;

sin - sin= 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos;

cos + cos = 2 sin sin ;

б) преобразование произведения тригонометрических функций в сумму с помощью формул

sin x cos y = ( sin(x+y) + sin(x-y));

sin x sin y = -( cos(x+y) + cos(x-y));

cos x cos y = ( cos(x+y) + cos(x-y));

в) применение различных формул для упрощения уравнения.

6. Условие равенства одноименных тригонометрических функций.

Учитывая периодичность тригонометрических функций, в уравнениях вида

sin x = sin y и cos x = cos y имеем:

x + 2n = y, nZ.

В уравнениях вида

tg x = tg y и сtg x = сtg y соответственно

x +n = y, nZ.

Решение тригонометрических неравенств.

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. Решение простейших тригонометрических неравенств удобно иллюстрировать на тригонометрическом круге или графике. Для решения более сложных неравенств необходимо привести их к простейшим (в том числе к системе или совокупности), используя тригонометрические и (или) алгебраические формулы. Для решения тригонометрических неравенств используют свойства монотонности тригонометрических функций, а так же промежутки их знакопостоянства.

Общие рекомендации:

а) При решении простейших неравенств

sin x ≥ a, cos x ≥ a, tg x ≥ a, сtg x ≥ a, (< ; >, ) :

1) отметить на линии синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) числовой промежуток, соответствующий условию неравенства;

2) отметить на окружности дугу, соответствующую данному промежутку, и центральный угол;

3) на ближайшем к началу отсчета конце дуги отметить число, равное arcsin a (arccos a, arctg a, arcctg a);

4) используя свойства симметрии и, учитывая, что положительным является направление против часовой стрелки, отметить число, соответствующее второму концу дуги;

5) переходя от частного решения к общему, прибавить к концам полученного промежутка числа, кратные наименьшему периоду функции (2n для sin x и cos x , n для tg x и

сtg x, nZ);

6) записать общее решение в виде неравенства или числового промежутка.

б) При решении неравенств, сводящихся при замене тригонометрической функции новой переменной к рациональным, использовать дополнительно метод интервалов.

Тема лекции 5. Обобщение понятия степени. Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства и их системы.