4. Показательные уравнения.
1)
Показательными называются уравнения,
содержащие переменную в показателе
степени. Простейшим из показательных
уравнений является
=
b, где a
> 0, a ≠ 1.
Если
b < 0, то это
уравнение не имеет решений, поскольку
значения
положительны.
Если же b > 0, то
существует единственное значение x,
удовлетворяющее этому уравнению: x
= log
.
2)
Решение показательного уравнения вида
=
,
где a > 0, a
≠ 1, основано на том, что это уравнение
равносильно уравнению f(x)
= g(x).
3)
Уравнение вида A
+
В
+
С = 0 с помощью подстановки
=
y сводится к
квадратному уравнению A
+
В y + С = 0.
5. Показательные неравенства.
1) Неравенства, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.
2)
Решение показательных неравенств вида
<
,
где a > 0, a
≠ 1, основано на свойстве монотонности
показательной функции:
если
a > 1, то (
<
)
(f(x)
< g(x)), т.к.
функция y =
возрастает;
если
a < 1, то (
<
)
(f(x)
> g(x)), т.к.
функция y =
убывает.
6. Логарифмические уравнения.
1)
Уравнение, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим. Простейшим примером
логарифмического уравнения служит
уравнение log
x = b,
где a > 0, a
≠ 1;
2)
Решение логарифмического уравнения
вида log
f(x) = log
g(x), где a
> 0, a ≠ 1,
основано на том, что это уравнение
равносильно уравнению f(x)
= g(x) при
дополнительных условиях f(x)
> 0, g(x) >
0;
3)
Переход от уравнения log
f(x) = log
g(x) к уравнению
f(x) = g(x)
иногда приводит к появлению посторонних
корней. Такие корни можно выявить либо
с помощью подстановки найденных корней
в исходное уравнение, либо с помощью
нахождения области определения исходного
уравнения:
f(x) = g(x),
log
f(x) = log
g(x)
f(x) > 0,
g(x) > 0.
4) При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.
5) При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
7. Логарифмические неравенства.
1)
Неравенства, содержащие переменную под
знаком логарифма, называются
логарифмическими. Например, неравенства
log
f(x) >
log
g(x),
log
f(x) < log
g(x)
где a > 0, a ≠ 1, называются логарифмическими.
2)
Неравенство log
f(x) >
log
g(x)
равносильно системе f(x)
> g(x) > 0
при a
(1;
+
)
и системе 0 < f(x)
< g(x) при
a
(0;1).
3) При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.
8. Системы иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Известные способы решения систем алгебраических уравнений и неравенств применяются и к решению систем, содержащих иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Тема лекции 6. Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств. Уравнения и неравенства с модулем и параметрами.