1. Построить график функции: .

Функция четная.

Схема построения:

1. ;

2. . Так как при , то x = 1 – вертикальная асимптота;

3. – отобразим у₂ симметрично оси ординат;

4. - часть графика, находящуюся под осью абсцисс, отразим симметрично ей.

2. Построить график функции: .

Схема построения:

1) ;

2) (с помощью вспомогательной таблицы, см. пример 1). Так как при , то y = 1 является горизонтальной асимптотой. При , т.е. прямые x=1 и x=3 являются горизонтальными асимптотами. При справа и слева график приближается к точкам (1;0) и (3; 0), так как .

3. Построить график функции:

Область определения: .

При , следовательно, прямые – вертикальные асимптоты. Функция четная, периодическая.

x
	1	0
		-1

у = ln|sin x|

4. Определите асимптоты функции y = и постройте ее график.

5. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

Практическое задание № 3 - 4.

Тема: Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Вопросы:

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Формулы приведения.

3. Формулы сложения, двойных углов и следствия из них.

4. Формулы половинных углов.

5. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла.

6. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

7. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

Задания:

Упростите выражения (1-6):

1. tgx - sinx - tgx sinx;

2. cos 2 + tg sin 2;

3. 2 cos - 2sin;

4. ;

5. ;

6. sin + sin 4+…+ sin 28+ sin 32. Вычислите (7-20):

7. , если tg х = 1;

8. sin, если cos x = 0,3;

9. cos 2 , если ctg = -2;

10. ctg 2, если tg = 4;

11. cos ( -), если sin= -, cos = -, и - углы третьей четверти;

12. sin (+ arcsin );

13.

14. ;

15. arcsin (cos);

16. sin (arcos );

17. sinsin - cos sin+ сtg;

18. coscoscos;

19. ;

20. tg.

21. Преобразуйте выражение - 2cos в произведение тригонометрических функций.

Практическое задание № 5 - 6.

Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства.

Вопросы:

1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи решения.

2. Указать интервалы, в которых определены обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x; y = arcos x; y = arctg x; y = arcctg x.

3. Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

4. В каких случаях наиболее эффектно решение уравнения вида a sin x + b cos x = c введением вспомогательного угла?

5. Покажите на тригонометрическом круге линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

6. При каких значениях х не существует тангенс? котангенс?

Задания:

Решите уравнения:

1. сtg2x = 3;

2. 2 sin3x - 5 cos 3x - 5 = 0;

3. tg x + 3 сtg x = 4;

4. 5sinx + 3sin x cos x - 4 = 0;

5. 3sin x = 2(1- cos x);

6. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 2;

7. sin x + sin 3x + sin 2x = 1;

8. sin 3x sin 5x = sin x sin 7x;

9. Найти корни уравнения cos 2x + cos 8x – cos 6x - 1 = 0,

принадлежащие промежутку ;

10. tgx +3tg x + 3сtg x + сtgx – 4 = 0;

11. sin 2x -12(sin x - cos x) + 12 = 0;

12. 2 sin11 x +sin5 x + cos 5x = 0.

Решите неравенства:

1. ≥ ;

2. sin 3x cos x + cos 3x sin x ≥;

3. tgx – 1 > 0;

4. 6sinx - 5sin x + 1 ≥ 0;

5. 11 – 2 cos x;

6. sin x > cos x.

Практическое задание № 7.

Тема: Обобщение понятия степени. Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства и их системы.

Вопросы:

1. Какие уравнения и неравенства называют иррациональными, показательными, логарифмическими?

2. Почему при решении иррациональных и логарифмических уравнений нужно делать проверку? Каким образом можно ее упростить?

3. Что является областью определения и множеством значений показательной ( логарифмической) функции?

4. При каких значениях а функции y = и y = logх являются возрастающими; убывающими?

5. Почему при решении показательных и логарифмических уравнений полагают, что

a > 0, a ≠ 1 ?

6. Как применяются свойства монотонности показательной и логарифмической функции при решении неравенств?

7. Какой метод используется при решении уравнений, содержащих переменную и в показателе степени, и в основании?

8. Чему равносильны условия:

а) = В(x);

б) =;

в) < В(x);

г) > В(x);

д) =, где a > 0, a ≠ 1;

е) <, если a > 1; если 0 < a <

ж) log f(x) = log g(x), где a > 0, a ≠ 1;

з) log f(x) > logg(x) при a(1; +) и при a(0;1)?

Задания:

1. Докажите, что уравнение + = 1 не имеет корней. При каких значениях а

уравнение + = a имеет корни?

2. Решите уравнение: - = 8;

3. Решите уравнения, используя ведение новой переменной: - = 2.

4. Решите уравнение: + = ;

5. Найдите значения a, при которых выполняется равенство = a.

6. Решите неравенство:

а) + ≥;

б) < 1;

7. Решите уравнение:

а) = 5;

б) 3 + 3+ 3 = 45,5 + 22,75 + 11, 375 +… ;

в) 3*4 - 5*6+ 2*9= 0;

8. Решите неравенство:

а) 2, 56 ≥ ;

ж) (х + 3) = (х + 3).

б) (4 х+ 2 х + 1) > 1;

в) 1,2 < 1,2;

10. Решите уравнение:

а) log5- 1,25 = log;

б) х= ();

в) 6+ х= 12;

г) х= 8;

д) log= log+ log;

е) 4 log+ 2 logx= 3 logx.

11. Решите неравенство:

а) log(2- 1)* log(2- 2) < 2;

б) log log < 0;

в) log(3 – 2х) > 1;

г) х < 100х;

.

Практическое задание №8.

Тема: Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств. Уравнения и неравенства с модулем и параметрами.

Вопросы:

1. При каких значениях коэффициента k уравнение k х = 5 имеет единственный корень? Существует ли значение k, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечное множество корней?

2. Не решая уравнения 7(2х + 1) = 13, докажите, что его корень не является целым числом.

3. При каких значениях n ровно один из корней уравнения х+ (n + 3) х + - 3 = 0 равен нулю?

4. При каких значениях m оба корня уравнения х+ (16 - m) х + m- 8 = 0 равны нулю?

5. При каких значениях m корни уравнения 4х+ (5- 1) х + 3 m+ m = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

6. Решите неравенства: х > 4 ; х≤ 1.

7. Назовите подстановки, позволяющие свести данные уравнения к квадратным:

а) 3 x – 5 – 2 = 0;

б) (x - 1)- х+ 2 x - 73 = 0;

в) (х+ 3 x + 1)( х+ 3 x +3) + 1 = 0;

г) (x + 1)(х+ 2 x) = 12;

д) = ;

е) x = 5 + 4.

Задания:

1. Решите уравнение: (x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 1680.

2. Решите уравнение: 4(х + 5)(х + 6) (х + 10)(х + 12) = 3х.

3. Решите уравнение: x- 2x- х- 2х + 1 = 0.

4. Решите уравнение: (х+ х - 2)(х+ х - 3) = 12.

5. Решите уравнение: (2х– 3х + 1)(2х+ 5х + 1) = 9х.

6. Решите уравнение: (x - 8)+ (x - 6)= 16.

7. Решите уравнение: f (x) = f (), где f (x) = .

8. Не вычисляя корней уравнения 2 х- 5 х – 4 = 0, найдите

а) ;

б) xx+ xx;

в) ;

г) x+ x.

9. Докажите, используя неравенство Коши, что (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 6) > 96 a,

где a > 0.

10. Решите неравенство: - ≥ 2 х – 1;

11. Решите неравенство: ≤ 2.

12. Решите неравенство: (x - 2)(x + 1)(4 – 4x)( х+ 2 + 5) < 0;

13. Решите систему уравнений:

(х+ y- 25)( х + y - 8) = 0;

xy = 12.

14. Решите систему уравнений:

х + y= 28;

хy + x y = 12.

15. Решите систему уравнений:

хy + x y= 300;

xy + х+ y = 37.

16. Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости:

х - y + 1 ≥ 0;

х + y - 3 ≤ 0;

х + 3y + 1 ≥ 0.

Практическое задание №9.

Тема: Обобщение и повторение курса планиметрии.

Вопросы:

1. Треугольники. Элементы треугольников. Равенство и подобие. Соотношения между сторонами и углами. Замечательные точки треугольника.

2. Четырехугольники и их свойства.

3. Окружность и круг, их элементы. Свойства вписанных и описанных многоугольников. Правильные многоугольники.

4. Решение треугольников. Теоремы.

5. Площади.

6. Метод координат и векторы на плоскости.

Задания:

Задача 1.

В треугольнике АВС длины сторон СВ, СА и АВ соответственно равны 4, 3 и 2см. Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины В).

Решение:

∆ АВС: = = = .

АС = 3см, поэтому АВ= 1см , ВС = 2см.

∆ ВВС: = = = .

Ответ: 2:1

Задача 2.

В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна см, угол при основании равен 30˚. Найдите длину биссектрисы АD.

Решение:

∆ АВС: А =В = 30˚.

∆ АDВ: DАВ = 15 ˚, поэтому

АDВ = 180˚ - (30˚ + 15 ˚ ) = 135˚.

=,

следовательно

АD = *:=1 (см).

Ответ: 1см.

Задача 3.

Стороны ∆ АВС равны 13см, 14см, 15см, О – точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОС.

Решение:

а = 13см, в = 14см, с = 15см.

р = (13+14+15) : 2 = 21(см).

S=84cм– площадь треугольника АВС.

84 : 3 = 28 (см) – площадь треугольника АОС.

Ответ: 28 см.

Задача 4.

Стороны угла АВС, равного 60˚, касаются двух окружностей с центрами О и О, касающихся одна другой ( О- центр меньшей окружности).СО= 12см. Найдите радиус окружности с центром О

Решение:

АСО=30˚,

следовательно ОН= 0,5 СО= 6см = ОК.

СО= СО- ОК -ОК =

= 12 – 6 – R = 6 – R (см).

СО: ОН= 2, поэтому

(6- R) : R = 2.

6-R = 2 R

3R = 6

R = 2 см.

Ответ: R = 2 см.

Задача 5.

Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны а и в. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть ВС = х, АС = у, тогда АС = , ВС = .

Рассмотрим треугольники ВВС и ААС:

х+ ()= в,

() + у= а.

х+у= а+ в,

х+ у = (а+ в).

Так как АВ = а+ в, то АВ= 2 .

Ответ: 2 .

Задача 6 .

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

Пусть СВ= х , СА= у, тогда СА = 2х , СВ =2у.

Применив теорему Пифагора к треугольникам СВВ и САА, получим систему уравнений:

(2х )+ у= 52,

х+ (2у )= 73.

Складывая левые и правые части уравнений, получим

5х+5у= 125,

х+ у= 25,

=5.

Из треугольника АВС : АВ = 2= 2*5 = 10.

Ответ: 10.

Задача 7.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что найдется

прямая, проходящая через вершину угла при основании, делящая исходный треугольник на два равнобедренных.

Решение:

Случай 1:

АD = АС, поэтому 1 = 2 = ;

АDС – внешний, поэтому3 + 4 = 2 = , следовательно , т.к. АD=АВ, то 3 = 4 = .

Сумма углов треугольника равна 180˚, поэтому А +1 + 4 = 180˚, тогда

2+ = 180˚,

= 180˚,

= 72˚, т.е. А = С = 72˚,

В = 72˚: 2 = 36˚.

Случай 2:

АD = АВ, поэтому 1 = 2 =

АDС – внешний, поэтомуАDС = 1 + 2 = 2, следовательно

4 = 2, т.к . АD = АС.

3 = 180˚ - (4 +АDС) = 180˚ - 4.

Сумма углов треугольника АВС равна 180˚, поэтому

2 * (180˚ - 4) + = 180˚,

7 = 180˚,

= (25)˚ = В,

А = С =180˚ - 4 = 180˚ - 4 * (25)˚ = (77)˚.

Ответ: 36˚, 72˚, 72˚ и 25˚; 77˚, 77˚;

Задача 8.

Дана трапеция АВСD с основаниями ВС=12 см и АD=27 см. Найдите диагональ АС, если АВС= АСD.

Решение:

Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при

параллельных прямых ВС и АD.

Углы АВС и АСD равны по условию, поэтому

треугольники АВС и АСD подобны. Отсюда следует, что

ВС : АС = АС : АD, т.е. 12 : АС = АС : 27.

АС = = = 2*3*3 = 18 (см).

Ответ: 18 см.

Задача 9.

Концы одного диаметра удалены от касательной к окружности на 2,4 дм и 1,8 дм. Найдите диаметр окружности.

Решение:

АВСD – трапеция, т.к. АС СD и ВD СD.

ОН – средняя линия, т.к. ОН СD, следовательно

ОН || АС || ВD.

Т.к. АО = ВО, то СН = DН, следовательно

ОН = (1,8 + 2,4) :2 = 2,1 (см) =R.

D = 2 R = 2* 2,1 = 4,2 (см).

Ответ: 4,2 см.

Задача 10.

В трапеции АВСD АD и ВС – основания, АD : ВС = 4 : 3. Площадь трапеции равна 70 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

1 способ (см. рис. 1):

Углы АСВ и САD равны как накрест лежащие, поэтому

= , тогда =, поэтому

S =

Рис. 1

= *70 = =30 (см)

2 способ (см. рис. 2):

S = , S = h = ,

поэтому S = = *70 = 30 (см).

Рис. 2

Ответ: 30 см.

Задача 11.

В трапеции основания равны 5 и 15, а диагонали 12 и 16. Найдите площадь трапеции Решение:

Треугольники АОD и СОВ подобны по двум углам,

k = ==3,

следовательно,

ВО = х, ОD = 3х.

Так как ВD =16,

то х + 3х = 16,

х = 4,

следовательно,

ВО = 4, ОD =12.

Аналогично

АС = 12, АО = 9.

∆ ОВС – прямоугольный, т.к.

3+ 4 = 5, следовательно,

О = 90˚

S= 0, 5 АС * ВD = 0,5 * 12 * 16 = 96. Ответ: 96.

Задача 12.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна 4. Один из катетов равен 8. Найдите площадь исходного треугольника.

Решение:

АН = = = = 4;

= ,

следовательно АВ = = = 16.

S = 0,5 АВ * СН =0,5*16*4= 32.

Ответ: 32.

Практическое задание №10.

Тема: Обобщение и повторение курса стереометрии.

Вопросы:

1. Назовите признаки: параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей; перпендикулярности двух плоскостей.

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

3. Что принимают за расстояние между скрещивающимися прямыми?

4. Каким образом можно установить, что две плоскости перпендикулярны?

5. Как определяются координаты точки в пространстве?

6. Чему равны координаты точки, делящей отрезок с заданными координатами в отношении?

7. Чему равно расстояние между двумя точками с заданными координатами?

8. Как определяется угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве?

9. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.

10. Что такое скалярное произведение двух векторов?

11. Каким образом можно установить перпендикулярность двух векторов?

12. Что такое диагональное сечение?

13. Чему равны площадь поверхности и объем призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара?

14. Как можно вычислить объем тела вращения?

15. Где находится центр сферы, вписанной в правильную призму, пирамиду?

16. Где находится центр сферы, описанной вокруг правильной призмы, пирамиды?

17. Как найти объем шарового сектора, сегмента, слоя?

Задания:

1. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной a и острым углом . Двугранные углы при основании равны . Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Ответ: 0,5 a sin tg.

2. Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна l и наклонена к плоскости основания под углом . Ответ: .

3. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной a и острым углом . Двугранные углы при основании равны . Найдите объем и площадь полной поверхности. Ответ: ; .

4. Около шара радиуса r описан конус. Наибольший угол между образующими конуса прямой. Найдите площадь полной поверхности конуса. Ответ: r(5+ 7).

5. Найдите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса, описанного около шара, если его образующая равна 13 см, а радиус шара 6 см. Ответ: 169см, 532 см.

6. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань – прямоугольники, площади которых соответственно равны 20 см и 24 см, а угол между их плоскостями равен . Одна из боковых граней параллелепипеда имеет площадь 15 см. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 60 см.

7. В трехгранном угле два плоских угла содержат по . На их общем ребре

отложен отрезок, равный 2 см. Найти проекцию этого отрезка на плоскость

третьего угла, равного .

Ответ: см.

8. Точка В делит отрезок АС в отношении 4 : 1. Найдите координаты точки В, если

А(-1; 3; 2), С(4; 13; 12).

Планы проведения самостоятельных занятий учащихся.

СРОУ № 1, 2 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Виды текстовых задач и способы их решения»:

1. Определить тип задачи.

2. При решении пользоваться общими рекомендациями к решению задач данного типа.

3. Применять комбинированные приемы решения.

Задания к уроку:

1. Поезд был задержан на t часов. Увеличив скорость на a км/ч, машинист на перегоне в S км ликвидировал опоздание. Определите, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне?

2. В 9 часов самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В. 2 часа спустя после прибытия в В она отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19 часов 20 минут того же дня. Скорость течения реки 3 км/ч, собственная скорость баржи постоянна, путь от А до В равен 60 км. Определите время прибытия баржи в В.

3. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7с и затратил 25с на то, чтобы проехать с той же скоростью мимо платформы длиной 378м.

4. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок дороги за 18 дней. В действительности сначала работала одна первая бригада, а заканчивала работу одна вторая бригада, причем ее производительность была более высокой. В результате ремонт продолжался 40 дней, причем 1 бригада выполнила 2/3 работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

5. Две бригады должны были в определенный срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за 1 день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей изготовит бригада к сроку?

6. Вкладчик взял из банка сначала ¼ своих денег, потом 4/9 остатка и еще 64р. После этого у него осталось на счету 3/20 всех его денег. Как велик был вклад?

7. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если же от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

8. Первое число составляет 140% от второго, а отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 меньше числа, составляющего 12, 5 % суммы первого и второго чисел.

9. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали с 30% содержанием никеля?

10. Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г 15% раствора. Сколько г каждого раствора было взято?

11. Пассажир поезда знает, что на данном участке пути его скорость 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна 3с. Определить скорость встречного поезда, если его длина 75м.

12. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько кг воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?

Задания для СРО:

1. 40 кг раствора соли разлили в 2 сосуда так, что во вором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то в нем будет соли в 2 раза больше, чем в первом. Найдите массу раствора соли в первом сосуде.

Ответ: 15 кг

2. Морская вода содержит 5 % соли. Сколько кг пресной воды необходимо добавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 4 %?

Ответ: 20 кг

3. К 15 л 10% раствора соли добавили 5% раствор и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

Ответ: 10 л.

4. Один трактор может вспахать поле на один день скорее, чем второй. Оба трактора совместно работали 2 дня, а затем оставшуюся часть поля второй трактор вспахал за полдня. За сколько дней может вспахать это поле каждый трактор, работая отдельно?

Ответ: за 4 и 5 дней.

5. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же условиях зарплата выросла на 5 %?

Ответ: на 20%.

6. После двух последовательных снижений на одно и то же число процентов цена фотоаппарата упала с 3000 тг до 1920 тг. На сколько процентов снижали цену фотоаппарата каждый раз?

Ответ: на 20%.

7. В книге на одной из страниц строки содержат одинаковое число букв. Если увеличить на 2 число строк в странице и число букв в каждой строке, то число букв на странице увеличится на 150. Если же убавить число букв в строке на 3, а число строк в странице на 5, То число всех букв на странице уменьшится на 280. Найти число строк на странице и число букв в строке.

Ответ: 35 строк, 38 букв.

8. Две шкурки ценного меха стоимостью 225000 тг были проданы на международном аукционе с прибылью 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%?

Ответ: 90000 тг и 135000 тг.

9. Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В результате получили 0. Найдите задуманное число.

10. На ферме коров кормили несколько дней двумя видами корма. В 1 ц первого вида корма содержится 15 кг белка и 80 кг углеводов, а в 1 ц второго вида корма содержится 5 кг белка и 30 кг углеводов. Сколько ц составляет каждый вид корма, если весь корм содержит 10, 5 ц белка и 58 ц углеводов?

Ответ: 50 ц и 60 ц.

СРОУ № 3, 4 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Элементарные функции, их свойства и графики. Производная и ее применение. Общая схема исследования функции».

При построении графика функции придерживайтесь общей схемы исследования. Используйте симметричность графиков четной (нечетной) функции для упрощения построения. Для построения графиков функции элементарными способами пользуйтесь правилами параллельного переноса, растяжения и сжатия графиков. Для построения графиков функции, содержащих знак модуля, используйте приемы отражения графиков относительно осей координат. Для нахождения нулей функции при необходимости используйте методы приближенных вычислений.

Задания к уроку:

1. Определите промежутки монотонности, экстремумы и точки перегиба функции

f(x) = x- x+ 4. Постройте схематично график функции.

2. Найдите асимптоту функции f(x) = x + и докажите, что кривая колеблется около нее.

3. Исследуйте функцию y = x и постройте ее график.

4. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

5. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

6. Постройте график функции .

Задания для СРО:

1. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

2. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

3. Постройте график функции .

4. Постройте график функции .

5. Постройте график функции .

6. Постройте график функции .

СРОУ № 5, 6 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений »:

Прежде чем приступить к выполнению задания, определите, какие виды формул могут быть использованы в данной теме.

Задания к уроку:

Упростите выражения (1-7):

1. tgx - tgx sinx;

2. sin (+) + sin (-);

3. ;

4. cos2 + (1+ cos2) tg;

5. tg tg… tg;

6. ;

7. .

Вычислите (8- 14):

8. coscoscos;

9. 2 sinx +cos x + tg x, если ctg x = 1, 0 < x < ;

10. cos , если cos x = 0,4;

11. sin, если cos x = 0,4;

12. ;

13. ctg(+ arctg 3);

14. arcos (sin);

15. tg;

16. cos+ cos+ cos+ cos ;

17. sin 4 и cos 4, если tg 2 = 3.

Задания для СРО:

Вычислите без таблиц (1 – 6):

1. ( + sin(-: sin;

2. sin + sin + sin + sin ;

3. tg tg+ tg tg + tg tg;

4. coscoscos;

5. cos(arcsin x + 2 arccos x);

6. cos cos cos cos cos cos cos .

Упростите выражения (7 - 10):

7. tg(- 4,7) cos(- 7,8) + sin(- 11,7);

8. 2(sinx + sinx cosx + cosx) - (sinx + cosx);

9. ;

10. 2 sin+ sin 2- 1.

СРОУ №7, 8 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства »:

1. Определить тип уравнения.

2. При решении пользоваться общими рекомендациями к решению уравнений данного типа.

3. Применять комбинированные приемы решения.

4. Использовать для решения тригонометрических неравенств свойства монотонности тригонометрических функций и промежутки знакопостоянства.

5. Использовать для решения тригонометрических неравенств единичную окружность или график функции.

6. Применяя тождественные преобразования или замену переменной, привести решение тригонометрического неравенства к простейшему.

Задания к уроку:

Решите уравнения:

1. cos 3x = cos 5x;

2. 3 sin x + cos 2x = 2, если 0 < х <;

3. = -;

4. = -;

5. sin x + cos x = 1;

6. sin x + sin 2x = 2;

7. = 2;

8. 2sinx + sin 2x = 1+ cosx;

9. 3sin x = 2(1- cos x);

10. 2sin x cos(- x) + 3cos(+ x) cos x - 5 cosx sin(+ x) = 0;

11. cos 2x + sin 2x + cos x - sin x = 1;

12. sin(x - ) + cosx = 1,25, если х;

13. sinx tg x + cosx сtg x + 2 sin x cos x = .

Решите неравенства:

1. sin (x + ) + cos (x + );

2. - < cosx <;

3. sin x + cos 2x > 1;

4. 7tgx - 8 tg x + 1< 0.

Задания для СРО:

Решите уравнения (1- 9):

1.

2. sin 3x - sin x = 2cos 2x;

3. 2 sinx + 3 sin x - 2 = 0;

4. 2sin x + 3cos x = 5;

5. sinx + 5sin x cos x + 6 cosx = 0

6. sinx - sin 2x = cosx;

7. (sin x + cos x)+ (sin x - cos x)= 3 - sin 4x;

8. 1- sin 2x = cos x - sin x;

9. sinx + cosx = .

10. Найти корни уравнения sin 20x + 10cos 10 x = 0 в интервале .

Решите неравенства (11 - 12):

11. cosx sin 3x + sinx cos 3x < ;

12. 2 sinx - 3sinx + 1 > 0.

Решите систему уравнений:

sin x sin y = ;

cos x cos y = .

СРОУ № 9, 10 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Обобщение понятия степени. Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства и их системы »:

1.При решении неравенств используйте общие свойства неравенств

2. Найдите область определения данного уравнения или неравенства. При решении иррациональных уравнений и неравенств контролируйте неотрицательность подкоренного выражения и неотрицательность корня.

3. При решении показательных и логарифмических неравенств используйте общие свойства неравенств и свойства монотонности логарифмической и показательной функций.

4. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используйте метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Задания к уроку:

1. Решите уравнение:

а) + = 4;

б) + = а;

в) + х= 3х + 7;

г) х= 0,01;

д) 6+ х= 12;

е) = 2;

ж) log log(tg x) = 1;

з) 4= ;

и) 1 - + = 0;

к) х= (а);

л) logx = 2.

2. Решите неравенство:

а) > ;

б) 25*5> 9*3

в) < 0;

г) < 8;

д) < .

3. Сколько целых решений имеет неравенство 1 – 5 log4 + 6 log4 < 0?

Задания для СРО:

1) Решите уравнение:

а) - 2+ = 0;

б) 3 - 4*27 + 9= 80;

в) 2, 56 = ;

г) = 2;

д) log log log log= ;

е) log(4х) + log(х+ 75) = 1;

и) х = 81;

к) = 5.

2) Решите уравнение, используя ведение новой переменной:

+ х = 2.

3) Решите неравенство:

а) х- 3 х + > 7;

б) > х +3;

в) > 5*0,04;

г) logsin (2x – 30) > - 1

д) 0,04< 625;

е) 2> .

СРОУ № 11, 12 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств. Уравнения и неравенства с модулем и параметрами»:

1) Назовите основные методы решения уравнений высших степеней.

2) Какие подстановки применяются для решения квадратных, биквадратных, симметрических, кососимметрических уравнений?

3) Сформулируйте теорему Безу. Как применяется теорема Безу к решению уравнений с целым коэффициентами?

4) Какие системы уравнений называется симметрическими? однородными? Какие подстановки применяют для решения этих систем?

5) В чем заключается графический метод решения уравнений с одной, с двумя переменными?

6) В чем заключается графический метод решения систем уравнений и неравенств с двумя переменными?

Задания к уроку:

1) Решите уравнение: х(х + 1)( х + 2)( х +3) =120 различными способами.

2) Решите уравнение: - = 2х – 1.

3) Решите уравнение, применяя разложение левой части на множители:

x+ 12x+ 36 х- 8х – 4 = 0.

4) Решите уравнение заменой переменной: (х+ х + 1)- 3х- 3х - 1 = 0.

5) Решите уравнение, применяя теорему Безу: x- x- 13х+ х + 12 = 0.

6) Решите уравнение: 2 m– 7 m+ 9 m+ 7 m – 2 = 0.

7) Решите уравнение: = .

8) Решите неравенство: > 0.

9) Решите систему уравнений:

5х- 2xy + y = 4;

3х-3xy + 2y = 2.

10) Решите графически систему уравнений и проверьте полученное решение аналитическим способом:

х+ y+ 4 х – 6 y = 13;

х y – 3 х + 2 y = 11.

11) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:

х+ y ≤ 4 х,

≤ 2.

Задания для СРО:

1) Решите уравнение, применяя разложение левой части на множители:

а) 28x+ 3 х+ 3х + 1 = 0;

б) x+ 4 a x+ 4х – = 0;

2) Решите уравнение:

а) 2 x – 7 x + 9 х + 7 х – 2 = 0;

б) (2 х - 3 x + 1)(2х + 5 x + 1) = 9 х;

в) x+ 4 x+ 4| х - х | = 2 x+ 12;

г) + 5 = .

3) Решите уравнение заменой переменной:

а) х( х + 4)( х + 5)( х + 9) + 96 = 0;

б) x – (+ 1) х + 1 = 0;

4) Решите неравенство: > 0.

5) Решите систему уравнений:

а) х - y= 7(х – y),

(x + 1)( y + 1) = 6.

б) х + y + z = 6,

y + z + t = 9,

z + t + х =8,

t + х + y = 7.

6) Решите систему неравенств:

|2х - 5| < 3,

| 3х - 1| ≤ 4.

7) Докажите неравенство: 2х+ y+ z ≥ 2 х (y + z).

СРОУ №13, 14 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Обобщение и повторение курса планиметрии».

1. Сделайте чертеж, отметьте на нем по возможности исходные данные, используя принятые обозначения.

2. Определите, какие темы, теоремы, формулы могут быть использованы в решении задачи.

3. Устно проанализируйте схему решения задачи, последовательность изложения, какая информация действительно понадобится для решения.

4. Определите, существуют ли другие способы решения, выберите наиболее рациональные.

5. Запишите решение задачи.

Задания к уроку:

1. Основание треугольника равно 20 см, а медианы боковых сторон равны 18 см и 24 см. Найдите площадь треугольника.

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании.

3. В треугольнике АВС известны стороны a, b и угол С между ними. Чему равна длина биссектрисы, исходящей из вершины С?

4. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на снование, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

5. Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 5 и 13. Найти площадь трапеции.

6. Какой наибольший угол может иметь правильный многоугольник?

7. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Прямая, проведенная через вершину прямого угла C, перпендикулярна медиане BD и пересекает гипотенузу в точке M. Найдите отношение AM : MB.

8. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2см и 5см.

9. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите разность диаметров описанной и вписанной окружностей.

10. Из одной точки окружности поведены хорды длиной 9см и 17см. Найти площадь круга, если расстояние между серединами хорд равно 5см.

2耀. Из точки Е, лежащей на стороне АВ треугольника АВС, проведена прямая, параллельная стороне АС. В каком отношении делит эта прямая сторону ВС при

АВ = 22,5см, АЕ = 18см, ВС = 15см?

12. Центр окружности, описанной около треугольника, наибольшая сторона которого равна R, лежит вне треугольника. R – радиус окружности. Найдите наибольший угол треугольника.

13. Две стороны треугольника равны a и b. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону.

14. Дан треугольник АВС. Угол ВАС равен , ВС = a. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ВОС, где О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.

15. Площадь прямоугольного треугольника равна 24см, а гипотенуза равна 10см. Найдите радиус вписанной окружности.

16. Найдите длину АК – медианы треугольника АВС, если F(1; 2; 3), D(6; 3; 6), С(-2; 5; 2).

17. В треугольнике АВС с вершинами А(1;3), В(5; -7), С(-1;9) найдите уравнение прямой, содержащей медиану ВМ

18. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (2; 0) и (5; 0) и касающейся оси OY.

Задания для СРО:

1. В трапеции основания равны 5 и 15, а диагонали 12 и 16. Найдите площадь трапеции.

2. В трапеции ABCD AD и BC – основания, AD : BC = 2 : 1. Точка Е – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AЕD равна 100см.

3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен . Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

4. Высота ромба равна 2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб.

5. Правильный многоугольник со стороной 4см описан около окружности радиусом

6см. Найдите число сторон многоугольника.

6. Определите площадь треугольника, если две его стороны равны 35см и 14см, а биссектриса угла между ними равна 12см.

7. Дан треугольник со сторонами 10см, 24см и 26см. Чему равен угол треугольника, противолежащий большей стороне?

8. В окружности длиной 24 м проведена хорда, равная 12м. Найдите градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой.

9. Даны координаты точек: А(1; -1; -4), В(-3; -1; 0), С(-1; 2; 5), D(2; -3; 1). Найдите

10. Около круга радиуса 2 описана равнобокая трапеция с площадью 20. Найдите длину большего основания трапеции.

11. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 см и 54 см. Найти гипотенузу треугольника.

12. Даны координаты точек: А(1; -1; -4), В(-3; -1; 0), С(-1; 2; 5), D(2; -3; 1). Найдите

__ __

косинус угла между векторами АВ и СD.

СРОУ № 15,16 (2часа).

Методические рекомендации по теме «Обобщение и повторение курса стереометрии».

1. Сделайте чертеж, отметьте на нем по возможности исходные данные, используя принятые обозначения.

2. Определите, какие темы, теоремы, формулы могут быть использованы в решении задачи.

3. Устно проанализируйте схему решения задачи, последовательность изложения, какая информация действительно понадобится для решения.

4. Определите, существуют ли другие способы решения, выберите наиболее рациональные.

5. Запишите решение задачи.

Задания к уроку:

1. Из точки, взятой вне плоскости, проведены к плоскости две наклонные, каждая под углом к плоскости. Проекции этих наклонных образуют между собой угол . Найдите расстояние от точки до плоскости, если расстояние между основаниями наклонных равно 60 см.

Ответ: 20 см.

2. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания касается всех трех боковых граней в точках пересечения их медиан. Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен r, а величина плоского угла при вершине пирамиды равна .

Ответ: .

3. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом , причем длина высоты призмы больше длины наибольшей диагонали основания. Под каким углом к плоскости основания следует провести секущую плоскость, чтобы в сечении призмы получился квадрат?

Ответ: = arссos tg.

4. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Найдите радиус сферы, касающейся оси конуса, его основания и боковой поверхности.

Ответ: .

5. Ребро правильного тетраэдра равно a. Чему равен радиус полусферы, касающейся боковых граней тетраэдра, центр которой лежит на основании тетраэдра?

Ответ: .

6. Расстояния от вершин A, B, C параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость , равны соответственно 14, 11 и 4 см. Найдите расстояние от вершины D до

плоскости .

Ответ: 7 см.

7. В треугольнике ABC сторона BC = a и известны углы B и C. Определить объем тела, полученного при вращении треугольника около данной стороны.

Ответ: .

8. Основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого равна 3 см, а площади диагональных сечений 3 см и 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 3 см.

9. Два равнобедренных треугольника ABC и ACD имеют общее основание AC, двугранный угол при AC равен , а угол, образованный стороной BC с плоскостью

ACD, равен . Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 6 см.

Ответ: 12см.

10. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный .

Ответ: 10 см.

11. В конус вписан шар. Найдите объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом.

Ответ:.

12. Наклонная образует угол с плоскостью. Через основание наклонной проведена в плоскости прямая род углом к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной.

Ответ: .

13. В кону вписан шар объемом см. Найдите объем конуса, если его высота 3 см.

Ответ: 3см.

14. Векторы a и b образуют угол , а вектор c им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора + b + c если a, b, c единичные векторы.

Ответ: 2.

15. Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара 5 см, а ребро основания призмы 6 см.

Ответ: 2 см.

16. Треугольник ABC – проекция треугольника MNP на плоскость , точка D лежит на отрезке AB, причем точки A, B, C, D проекции точек M, N, P и K соответственно. Найдите

MN, если AD = 4 см, BD = 6 см, MK = 6 см.

Ответ: 15см.

Задания для СРО:

1. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен . Площадь боковой поверхности пирамиды равна 192 см. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды.

Ответ: 8 см.

2. В наклонной треугольной призме одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания и представляет собой ромб, диагонали которого равны 3 и 4 см. Основанием призмы служит равносторонний треугольник. Найти объем призмы.

Ответ: см.

3. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (0; 2; 1) и

_

b = (1; 0; 2).

4. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой стороной и высотой, опущенной на основание, равен . Во сколько раз объем пирамиды меньше объема описанного вокруг него шара?

Ответ: .

5. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром, равным a.

Ответ: .

6. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого . Найдите объем цилиндра, вписанного в этот параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V.

Ответ: .

7. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, осевое сечение которого является квадратом, а площадь боковой поверхности равна S. Ответ: 1,5 S.

8. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность.

Ответ: .

9. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.

Ответ: см.

10. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5 см.

11. Прямоугольная трапеция MKPN (MN|| KP и N = ) вращается вокруг оси, содержащей сторону KP. Найдите объем фигуры вращения, если KP = 2 см, диагональ

MP = 6 см и MPK = .

Ответ: 72см.

Итоговый контроль:

1) В руде содержится 45% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 6% примесей. Сколько получится металла из 47 тонн руды?

Ответ:

А) 27,5;

В) 39;

С) 18,33.

2) Работая вместе, две бригады затратят на выполнение производственного задания на 3 часа меньше, чем требуется одной из них, и на 5 часов 20 минут меньше, чем необходимо другой. За какое время каждая бригада может выполнить задание?

Ответ:

А) 7 часов, 9 часов 20 минут;

В) 8 часов, 8 часов 20 минут;

С) 8 часов 20 минут, 6 часов.

3) Решить неравенство: x sinx + 1≥ x + sinx.

Ответ:

А) ;

В) ;

С) .

3) Решить уравнение: + = 3 – х.

Ответ:

А) х = 1

В) х (-1; +);

С) х (- 3;1).

4) Решить уравнение: += 0.

Ответ:

А) 1;

В) 2; 3;

С) 3; 2.

5) Решить уравнение: = .

Ответ:

А) х = 2; 8/3;

В) х (1,2; +);

С) х (2;).

6) Решить неравенство: < 2.

Ответ:

А) х (;1);

В) х (1,2; +);

С) х = 0.

7) Решить неравенство: + ≥ 4.

Ответ:

А) нет решения;

В) х;

С) х (- 3;-2).

8) Вычислите 50% от числа - .

Ответ:

А) 1;

В) -1;

С) 2.

9) Упростите выражение

(1 + ) и найдите его значение при x = 3; y = 0,75; n = 2.

Ответ:

А) 64;

В) -64;

С) .

10). Решите возвратное уравнение: х- 2х- х- 2х + 1 = 0.

Ответ:

А) ; ;

В) 4;

С) + 1; - 1;+ 2; - 2.

11) Решите уравнение: (х+3)+ (х+ 5) = 16.

Ответ:

А) -5; -3;

В) 1;-1;

С) + 1; - 1;+ 2; - 2.

12) Решите однородное уравнение: 3(х- x + 1)- 5(x + 1)( х- x + 1) - 2(x + 1)= 0.

Ответ:

А) ; ;

В) 1;-1;

С) ; .

13) Решите систему уравнений: х+ y = 7;

хy = - 8.

Ответ:

А) (-1; 2); (2; -1);

В) х = 2; у = -1;

С) х = -1, у = 2.

14) Решите систему уравнений: xy = 6;

xz = 2;

yz = 3, где x > 0, y > 0, z > 0.

Ответ:

А) (2; 3; 1);

В) (1; 2; 3);

С) (3; 2; 1).

15) Решите конструкцию неравенств: совокупность системы 1-го и 2-го неравенств с третьим:

х (х -2)(х + 1)(2 х – 3) ≤ 0;

(2 - 3 х) (х + 1) > 0;

(х + 1)(3 х – 4)(2 – х) < 0.

Ответ:

А) х(-1; )(2; +);

В) х(0; 1);

С) х (- 3;12).

16) Решить неравенство: 4≥ .

Ответ:

А) х ;

В) х ;

С) х .

17) Вычислите: 81+ 27+ 3.

Ответ:

А) 890;

В) 3;

С) 72.

18) Решите уравнение: 2- 2* 2= 1.

Ответ:

А) 1;

В) 1; 0;

С) нет корней.

19) Решите уравнение: 3 = 5.

Ответ:

А) x = log5 + ; x = log5 - ;

В) х = log5;

С) нет корней.

20) Решите систему уравнений: 5 = 125;

13 = 1.

Ответ:

А) (0;0); (-6;6);

В) (2; 1);

С) нет корней.

21) Решите систему уравнений: 3- 2 = 725;

3*2+ 3 = 87.

Ответ:

А) (1; 2);

В) нет корней;

С) (3;-3).

22) Найдите область определения функции: y = arcsin.

Ответ:

А) х = -1;1;

В) х;

С) х (- 3;-2).

23) Вычислите: arcsin(sin) – arctg(tg) – arcos(cos) + arcctg(ctg(-)).

Ответ:

А) ;

В) 3;

С) .

24) Решите уравнение: cos - sin = sin 2x.

Ответ:

А) х = + n, х =(-1)+ k, n, kZ;

В) х = + 2n, nZ;

С) х = - + n , nZ.

25) Решить неравенство: 2(sin 2x + cos 2x) < 1.

Ответ:

А) х (- + k; k), kZ;

В) х ( + 2n; + 2n) , nZ;

С) х (- + n; + n), nZ.

26) Найдите координаты точек касания, в которых касательная к графику функции

f(x) = имеет угловой коэффициент, равный 4.

Ответ:

А) (0; -2); (-2; 6);

В) (2; 1);

С) (0;0); (-6;6) .

27) В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5 соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла.

Ответ:

А) ; ;

В) 7: 4;

С) .

28) В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону ромба.

Ответ:

А) ;

В) 5;

С) - 1.

29) Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен . Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол . Найдите высоту параллелепипеда, если его объем равен V.

Ответ:

А) ;

В) ;

С) .

30) На общем основании построены два конуса один внутри другого так, что их вершины находятся на одной прямой на расстоянии 12 см одна от другой. Определите поверхность

тела, ограниченного коническими поверхностями этих конусов, если угол при вершине осевого сечения одного конуса равен , а другого .

Ответ:

А) ;

В) 75();

С) 21(- 1).