3.5 Розрахунок вольт - амперної характеристики
Розрахунки будемо виконувати в атомнiй системi одиниць, у якій ħ=e=m=4πε0=1. При цьому 1 атомна одиниця енергiї дорiвнює 27,21 еВ.
Встановимо зв'язок між енергією електронів у острівці, що буде фігурувати в процесах переносу, i енергією в одному з електродів. За початковий стан системи виберемо той, при якому на острівці присутні п надлишкових електронів. Будемо вважати, що при тунелюванні повна енергія вcix трьох електродів Ẽ не змінюється. Для переходу δп електронів з емітера на острівець (δп = 1) маемо:
(3.24)
Величина ηV є тим потенцiалом, який створюють зовнiшнi електроди при прямому включеннi (пряма гiлка ВАХ) на острiвцi, η -фракцiя напруги. Для ОЕТ2 переходи мають однакову ємність, тому:
Вираз (3.24) записаний в результатi енергетичного циклу: сума енергії іонізації електрона з рівня е→е на емiтерi (електрична ємнiсть якого дорiвнює нулю) i енергiї прилипання його на рiвень εp в острівці емністю CΣ, на якому вже знаходяться n надлишкових електронiв дорiвнює нескiнченностi. Стрiлкою зверху позначаються енергiї, що знаходяться в результатi вiдповiдних переходiв згiдно рис. 3.2.
Для прямох гілки ВАХ з урахуванням контактної рiзницi потенцiалiв, користуючись правилом (3.24) i формулою (3.6), маємо:
е→е = εp + U1. (3.25)
При цьому гранула заряджена зарядом Q0 до прикладення поля. Ми припускаємо, що n = n(V) i n = 0 при V = 0, тому будемо трактувати n як число, обумовлене прикладеною напругою:
(3.26)
Якщо ж електрон переходить iз гранули в емiтер, то в результаті іонізації n-го надлишкового електрона острiвця i прилипання цього електрона до емiтера, маємо:
е←е = εp + U2. (3.27)
(3.28)
Для переходiв острiвець-колектор:
е→с = εp + U3. (3.29)
(3.30)
Для переходiв колектор-острiвець:
е←с = εp + U4 (3.31)
(3.32)
Тунелювання окремого електрона через бар'єр iз стану εe,c на емiтері/колекторі в стан εp на острiвцi (i навпаки) є завжди випадковою подiєю, що протiкає з визначеною швидкiстю Γ - ймовiрнiстю в одиницю часу.
Уведемо парцiальнi сумарнi потоки при тунелюваннi з електродiв на острiвець (при розрахунку врахуємо, що потоки не повинні мати від’ємних значень):
(3.33)
(3.34)
Уведемо парцiальнi сумарнi потоки при тунелюваннi з острівця на електорди:
(3.35)
(3.36)
На рисунку 3.5 приведена діаграма, що ілюструє визначення потоку для переходу емітер- острівець.
U0
+
Ui
- це
положення дна потенцiйної
ями, вiдповiдної
електронам провiдностi
концентрації
(nn=
0.027) в
зарядженому металевому
острівці під електричною напругою. Для
нейтрального
острiвця у вiдсутностi електричного поля
,
kf=0.927/
Рисунок 3.5– Діаграма, що ілюструє визначення потоку для переходу емітер- острівець
Позначимо повнi потоки електронiв з обох електродiв на острiвець i назад на електроди:
(3.37)
(3.38)
Нагадаємо, що на гранулi в початковому станi знаходиться n надлишкових електронiв.
Введемо ймовiрнiсть Pn перебування n надлишкових електронiв на острiвцi. Вона знаходиться з рiшення керуючого рiвняння (master equation):
(3.39)
де Iе i Iс - струми через обидва тунельнi переходи на острiвець i у зворотному напрямку. Змiна Pn визначається приростом i убуванням густини ймовiрностi. Доданки зi знаком плюс вiдповiдають зростанню ймовiрностi знайти на острiвцi n електронiв. Знак мiнус показує, що позначенi переходи зменшують ймовiрнiсть знайти n (тому що вони це n або збiльшують або зменшують).
Умова стацiонарностi ∂Pn/∂t = 0 приводить до рекурентного спiввiдношення:
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
Постiйний струм, що протiкає через квантову гранулу, визначається як:
(3.46)
В розрахунках достатньо використовувати nmin = −3, nmax = +3
Оскiльки ОЕТ-II симетрична конструкцiя, то її пряма i зворотна гiлки є просто дзеркально симетричними вiдносно V = 0.
Розрахунок ВАХ проводили для трьох значень температури:
Т1=0.005 К,
Т2=0.5 К,
Т3=1К;
кожна з яких враховувалась при різних значеннях напруги на затворі:
Vg = -5Ẽc , 0, 5ẼС.
Температури обирали за умови:
Ẽс >>kBT
Iнтервал напруг вибрали V = -2ẼС …0…2ẼС, розрахунок робили з кроком 0,1Ẽс.
На рисунках 3.6 –3.11 зображені графіки вольт- амперної характеристики Ĩ(V) і графіки провідності dĨ(V)/dV для різних значень напруги на затворі Vg.
Рисунок 3.6– Графік залежності Ĩ(V) при Vg = -5ẼС В
Рисунок 3.7– Графік залежності dĨ(V)/dV при Vg = -5 ẼС В
Рисунок 3.8– Графік залежності Ĩ(V) при Vg = 0 В
Рисунок 3.9– Графік залежності dĨ(V)/dV при Vg = 0 В
Рисунок 3.10– Графік залежності Ĩ(V) при Vg = +5 ẼС В
Рисунок 3.11– Графік залежності dĨ(V)/dV при Vg = +5 ẼС В
Проаналізуємо отримані графіки. В першу чергу, слід зазначити, що побудовані графіки залежності Ĩ(V) не являють собою кулонівських сходинок. Це пояснюється тим, що обидва переходи ідентичні, тобто мають однакові опори і ємності, які, в свою чергу, впливають на ймовірність тунелювання Г. Тобто ми отримаємо однакову ймовірність тунелювання для лівого і правого переходів. Це означає, що кількість електронів, що приходять на острівець, дорівнює кількості, що уходять з нього. Таким чином, отримані залежності являють собою гладкі криві, що зростають. При малих значеннях напруги струм дорівнює 0. Причому, якщо порівнювати графіки для різних напруг на затворі, то бачимо, що при Vg = -5ẼС В струм зростає повільніше, ніж при Vg = 0 В, а найшвидше зростає при Vg = +5ẼС В. Це пояснюється тим, що при зміні напруги на затворі, змінюється енергія квантової точки, це дозволяє додавати електрони, і навіть при V=0 В з’являється струм.
На кожному з графіків зображені три криві для різних температур. Аналізуючи ці криві, бачимо, що при більш високій температурі струм зростає швидше. Це пояснюється тим, що при більш високій температурі існує як більше станів, зайнятих електронами, так і більше вільних станів. Причому, слід зауважити, що чим більша температура, тим швидше у декілька разів зростає струм. Це видно, порівнюючи температури Т1=0.005 К і Т2=0.5 К– криві розташовані майже поруч, а також температури Т2=0.5 К і Т3=1 К– криві розташовані далеко одна від одної.
Аналіз графіків залежності dĨ(V)/dV дозволяє побачити кулонівську блокаду. Спочатку провідність дорівнює 0, що означає, що ще жоден електрон не перейшов на острівець та в зворотному напрямку. Потім провідність різко зростає – переходить один електрон, за цим слідує знову полога ділянка – енергії не достатньо для переходу електронів, і так далі. На графіку ми можемо підрахувати, що на острівець прийшло три електрони і стільки пішло звідти.