Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если центр гиперболы совпадает с началом координат, то ее уравнение имеет канонический вид:

.

Это уравнение распадается на два уравнения гипербол, которые называются сопряженными: (рис. 8) и (рис. 9).

Y

Y

F₂

B

F₁ A b B F₂

a O x O x

A

F₁

Рис. 8 Рис. 9

Точки A и B (рис. 8) – вершины гиперболы. Диагонали основного прямоугольника, являющиеся асимптотами гиперболы имеют уравнения: . Уравнения директрис:

Уравнения асимптот гиперболы (рис. 9): . Уравнения директрис: .

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой.

Парабола не является центральной кривой; она имеет одну ось симметрии, с которой она пересекается в единственной точке, называемой ее вершиной.

Если координатная система выбрана так, что вершина находится в начале координат, то канонические уравнения параболы будут иметь вид (рис. 10) и (рис. 11), где .

Y O x Рис. 10

Y O x Рис. 11

Осью симметрии парабол (рис. 10) является ось ОХ, уравнения директрис имеют вид: и .

Осью симметрии парабол (рис. 11) является ось OY, уравнения директрис имеют вид: и .

Задача 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что 2с=6,.

Решение. Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид

.

Из условия . Составим систему

. Из системы находим ; .

Каноническое уравнение будет иметь вид .